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3.4　直线与圆的位置关系--3.7　正多边形与圆
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023大连)圆心角为90°,半径为3的扇形弧长为( )
A.2π B.3π C.π D.π
2.若一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( )
A.2π B.4π C.12π D.24π
3.(2022成都)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于 6π,则正六边形的边长为( )
A. B. C.3 D.2
4.(2023德州质检)如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径是( )
A.10 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
5.(柳州中考)如图,点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,记为点A′,则此时线段CA扫过的图形的面积为( )
A.4 B.6 C. D.
6.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是弦AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s的计算公式:s=AB+,当OA=2,∠AOB=90°时,|l-s|的值(结果保留一位小数)约为( )
A.3.1 B.0.1
C.0.7 D.0.5
7.(2023广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是( )
A.π-2 B.2π-2
C.2π-4 D.4π-4
8.(2023福建改编)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,则可得π的估计值为( )
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(河南中考)如图的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,D均在小正方形的顶点上,且点B,C在上,∠BAC=22.5°,则的长为 .
10.(2023德阳期中)如图,半圆的圆心与坐标原点重合,半圆的半径为1,直线l的表达式为y=x+t.若直线l与半圆有交点,则t的取值范围是 .
11.(2022大连)如图,正方形ABCD的边长是,将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数,点C旋转后的对应点为E,则弧CE的长是 .(结果保留π)
12.如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则所对的圆心角∠BOD的大小为 .
13.如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,其边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为 .(结果保留π)
14.(2023南京期中)如图,☉O的半径为2,AB是弦,点C在优弧AB上.将☉O沿AB折叠后,连接CB,CB交于点D,连接AD.若∠ADB=108°,则的长是 (结果保留π).
三、解答题(共44分)
15.(8分)如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80 cm,腰长为50 cm.求能从这块钢板上截得的最大圆的半径.
16.(12分)(2023江西)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
17.(12分)(2023十堰)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若CE=,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
18.(12分)(2022金华)如图①,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答问题.
做法:如图②.
①作直径AF;
②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;
③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
①　 　②3.4　直线与圆的位置关系--3.7　正多边形与圆
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023大连)圆心角为90°,半径为3的扇形弧长为(C)
A.2π B.3π C.π D.π
2.若一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是(　C　)
A.2π B.4π C.12π D.24π
3.(2022成都)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于 6π,则正六边形的边长为(　C　)
A. B. C.3 D.2
4.(2023德州质检)如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径是(A)
A.10 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
5.(柳州中考)如图,点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,记为点A′,则此时线段CA扫过的图形的面积为(　D　)
A.4 B.6 C. D.
6.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是弦AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s的计算公式:s=AB+,当OA=2,∠AOB=90°时,|l-s|的值(结果保留一位小数)约为(B)
A.3.1 B.0.1
C.0.7 D.0.5
7.(2023广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是(C)
A.π-2 B.2π-2
C.2π-4 D.4π-4
8.(2023福建改编)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,则可得π的估计值为(C)
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(河南中考)如图的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,D均在小正方形的顶点上,且点B,C在上,∠BAC=22.5°,则的长为 　　.
10.(2023德阳期中)如图,半圆的圆心与坐标原点重合,半圆的半径为1,直线l的表达式为y=x+t.若直线l与半圆有交点,则t的取值范围是　-1≤t≤　.
11.(2022大连)如图,正方形ABCD的边长是,将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数,点C旋转后的对应点为E,则弧CE的长是　　.(结果保留π)
12.如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则所对的圆心角∠BOD的大小为　144°　.
13.如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,其边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为　6π　.(结果保留π)
14.(2023南京期中)如图,☉O的半径为2,AB是弦,点C在优弧AB上.将☉O沿AB折叠后,连接CB,CB交于点D,连接AD.若∠ADB=108°,则的长是　　(结果保留π).
三、解答题(共44分)
15.(8分)如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80 cm,腰长为50 cm.求能从这块钢板上截得的最大圆的半径.
解:过点A作AD⊥BC于点D(图略),
则BD=CD=40 cm,
∴AD=30 cm.
设截得的最大圆的半径为r,圆心为点O,
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC,
∴S△ABC=BC·AD=(AB+BC+CA)r,
解得r= cm.
16.(12分)(2023江西)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
(1)解:如图,连接OE.∵∠ADE=40°,
∴∠AOE=2∠ADE=80°,
∴∠EOB=180°-∠AOE=100°.
∵AB=4,
∴☉O的半径是2,
∴的长==.
(2)证明:∵∠EAB=∠EOB=50°,
∴∠BAC=∠EAD-∠EAB=76°-50°=26°.
∵∠C=64°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∴∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=90°,
∴直径AB⊥BC,
∴CB为☉O的切线.
17.(12分)(2023十堰)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若CE=,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
(1)证明:连接OE,OD,如图.
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠OAD=∠B=45°.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO=45°,
∴∠AOD=90°.
∵点E是弧DF的中点,
∴∠DOE=∠EOF=∠DOF=45°,
∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°,
∴OE⊥BC.
∵OE是☉O的半径,
∴BC是☉O的切线.
(2)解:∵OE⊥BC,∠B=45°,
∴△OEB是等腰直角三角形.
设BE=OE=x,则OB=x,
∴AB=x+x.
∵AB=BC,
∴x+x=(+x),解得x=2,
∴S阴影=S△OEB-S扇形OEF=×2×2-=2-.
18.(12分)(2022金华)如图①,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答问题.
做法:如图②.
①作直径AF;
②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;
③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
①　 　②
解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠ABC==108°,
即∠ABC=108°.
(2)△AMN是正三角形.理由如下:
连接ON,NF,如图.
由题意可得FN=ON=OF,
∴△FON是正三角形,
∴∠NFA=60°,
∴∠NMA=60°.
同理可得∠ANM=60°,
∴∠MAN=60°,
∴△AMN是正三角形.
(3)连接OD,如图.
∵∠AMN=60°,
∴∠AON=120°.
∵∠AOD=×2=144°,
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.
∵360°÷24°=15,∴n的值是15.

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