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期中评价卷
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin B=,则AC的长是(　B　)
A.25 B.12 C.5 D.13
2.已知α为锐角,若sin(α-10°)=,则α等于(　D　)
A.30° B.40° C.60° D.70°
3.在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则 sin∠ABC的值为(　B　)
A. B. C. D.1
4.(2022青州实验质检)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶,坝高BC为4 m,则AB的长度为(　B　)
A.4 m B.8 m C.8 m D.16 m
5.(2024菏泽质检)如图,某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形,小明测得桥面宽度AB=a m,∠OAB=70°,则点O到桥面的距离(单位:m)是(D)
A.asin 70° B.acos 70° C.atan 70° D.atan 70°
6.已知实数a=tan 30°,b=sin 45°,c=cos 60°,则下列说法正确的是(A)
A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b
7.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列式子正确的是(　A　)
A.= B.= C.= D.=
8.(2023潍坊期末)我们可用“斜尺”测量管道的内径(如图),若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线,已知AB长为5 mm,DE∥AB,则玻璃管内径DE为(B)
A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm
9.(2022广元)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B, C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为(　B　)
A. B. C.　 D.
10.(2022包头)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C, D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与 △CDE的周长比为(　D　)
A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1
11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,cos C=,则△BCD与△ABD的面积比是(　B　)
A.1∶3 B.2∶7 C.2∶9 D.2∶11
12.(2023嘉兴)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则 △ABC的面积为(C)
A.12 B.14 C.18 D.24
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2022鞍山)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE∶DE=1∶2, AB=2.5,则CD的长为　5　.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E,若tan∠BEC=,则tan A=　　.
15.(2022锦州)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE交AC于点F.若AB=6,则△AEF的面积为　3　.
16.(2023绥化)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2,点A是位似中心,若点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C′的坐标为　(6-2a,-2b)　.(结果用含a,b的式子表示)
17.(2023黄冈)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 m到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 m,则尚美楼高度DF为　(30-5)　m.(结果保留根号)
三、解答题(共69分)
18.(10分)(1)计算:(3tan 30°+tan 45°)(2sin 60°-1).
(2)已知α是锐角,且sin α=,求3cos2α+sin(α-15°)tan(α+15°)-cos(α-15°)的值.
解:(1)原式==(+1)(-1)=3-1=2.
(2)∵sin α=且α是锐角,∴α=45°,
∴3cos2α+sin(α-15°)tan(α+15°)-cos(α-15°)
=3cos245°+sin 30°tan 60°-cos 30°
=3×+×-×
=+-
=.
19.(10分)如图,在△ABC中,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD, ∠CBD=∠A,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.
(1)求证:△HCD∽△HDB.
(2)求DH的长度.
(1)证明:∵DH∥AB,∴∠A=∠HDC.
∵∠CBD=∠A,∴∠HDC=∠CBD.
又∵∠H=∠H,∴△HCD∽△HDB.
(2)解:∵DH∥AB,∴=.
∵AC=3CD,∴=,
∴CH=1,∴BH=BC+CH=3+1=4.
由(1),知△HCD∽△HDB,
∴=,∴DH2=4×1=4,
∴DH=2(负值舍去).
故DH的长度为2.
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形 △A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出此时点B2的坐标.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标为(2,-6).
21.(10分)如图,在△ABC中,BC=2,tan B=,点D是BC延长线上一点, tan∠ACD=.
(1)求点A到BD的距离;
(2)求sin A的值.
解:(1)如图,过点A作AE⊥BD于点E.
设AE=3x.
∵在Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan B==,
∴BE=2AE=6x.
∵在Rt△ACE中,∠AEC=90°,tan∠ACE==,
∴CE=4x.
∵BC=BE-CE,∴2=6x-4x,
∴x=1,∴AE=3,
即点A到BD的距离为3.
(2)如图,过点C作CF⊥AB于点F.
由(1),得BE=2AE=6,CE=4,
∴在Rt△ABE中,AB===3,
在Rt△ACE中,AC===5.
∵S△ABC=BC·AE=AB·CF,
∴×2×3=×3CF,∴CF=.
∵在Rt△ACF中,∠AFC=90°,
∴sin∠BAC===.
22.(14分)如图,在正方形ABCD中,CD=8,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED与AB交于点G,与DA的延长线交于点F.
(1)求证:△BEG∽△CDE;
(2)求△AFG的面积.
(1)证明:在正方形ABCD中,∠B=∠C=90°,
又∵EF⊥ED,
∴∠BGE+∠BEG=90°,∠BEG+∠CED=90°,
∴∠BGE=∠CED,
∴△BEG∽△CDE.
(2)解:在正方形ABCD中,CD=AB=BC=8,
又∵点E是BC的中点,∴BE=CE=4.
∵△BEG∽△CDE,∴=,∴=,∴BG=2,∴AG=6,S△BGE=×2×4=4.
∵FA∥BE,∴△BGE∽△AGF,∴===,
∴S△AFG=36.
23.(15分)(2023嘉兴)图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图②,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm.
① ②
③
(1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处(如图②),请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别
(2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③),此时小若能被识别吗 请说明理由.
(参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36)
解:(1)如图①,过点C作OB的垂线分别交AD,AE于点D,E,交水平线于点F.
∵在Rt△AEF中,tan∠EAF=,
①
∴EF=AF·tan 15°≈130×0.27=35.1(cm).
∵∠EAF=∠DAF,AF=AF,∠AFE=∠AFD=90°,
∴△AEF≌△ADF(ASA),
∴EF=DF≈35.1 cm,∴CD≈160+35.1=195.1(cm).
∵208-195.1=12.9(cm),
∴小杜最少需要下蹲12.9 cm才能被识别.
(2)能.理由如下:
如图②,过点B作OB的垂线分别交AM,AN于点M,N,交水平线于点P.
∵在Rt△APM中,tan∠MAP=,
②
∴MP=AP·tan 20°≈150×0.36=54(cm).
∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°,
∴△AMP≌△ANP(ASA),∴MP=PN≈54 cm,
∴BN≈160-54=106(cm).
∵小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm),
∴小若头顶超出点N的高度为123-106=17(cm),17 cm>15 cm,
∴小若踮起脚尖能被识别.期中评价卷
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin B=,则AC的长是( )
A.25 B.12 C.5 D.13
2.已知α为锐角,若sin(α-10°)=,则α等于( )
A.30° B.40° C.60° D.70°
3.在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则 sin∠ABC的值为( )
A. B. C. D.1
4.(2022青州实验质检)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶,坝高BC为4 m,则AB的长度为( )
A.4 m B.8 m C.8 m D.16 m
5.(2024菏泽质检)如图,某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形,小明测得桥面宽度AB=a m,∠OAB=70°,则点O到桥面的距离(单位:m)是( )
A.asin 70° B.acos 70° C.atan 70° D.atan 70°
6.已知实数a=tan 30°,b=sin 45°,c=cos 60°,则下列说法正确的是( )
A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b
7.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列式子正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
8.(2023潍坊期末)我们可用“斜尺”测量管道的内径(如图),若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线,已知AB长为5 mm,DE∥AB,则玻璃管内径DE为( )
A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm
9.(2022广元)如图,在方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B, C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为( )
A. B. C.　 D.
10.(2022包头)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C, D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与 △CDE的周长比为( )
A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1
11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,cos C=,则△BCD与△ABD的面积比是( )
A.1∶3 B.2∶7 C.2∶9 D.2∶11
12.(2023嘉兴)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则 △ABC的面积为( )
A.12 B.14 C.18 D.24
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2022鞍山)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE∶DE=1∶2, AB=2.5,则CD的长为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E,若tan∠BEC=,则tan A= .
15.(2022锦州)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE交AC于点F.若AB=6,则△AEF的面积为 .
16.(2023绥化)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2,点A是位似中心,若点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C′的坐标为 .(结果用含a,b的式子表示)
17.(2023黄冈)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 m到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 m,则尚美楼高度DF为 m.(结果保留根号)
三、解答题(共69分)
18.(10分)(1)计算:(3tan 30°+tan 45°)(2sin 60°-1).
(2)已知α是锐角,且sin α=,求3cos2α+sin(α-15°)tan(α+15°)-cos(α-15°)的值.
19.(10分)如图,在△ABC中,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD, ∠CBD=∠A,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.
(1)求证:△HCD∽△HDB.
(2)求DH的长度.
20.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方,画出△ABC的位似图形 △A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出此时点B2的坐标.
21.(10分)如图,在△ABC中,BC=2,tan B=,点D是BC延长线上一点, tan∠ACD=.
(1)求点A到BD的距离;
(2)求sin A的值.
22.(14分)如图,在正方形ABCD中,CD=8,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED与AB交于点G,与DA的延长线交于点F.
(1)求证:△BEG∽△CDE;
(2)求△AFG的面积.
23.(15分)(2023嘉兴)图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图②,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm.
① ②
③
(1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处(如图②),请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别
(2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③),此时小若能被识别吗 请说明理由.
(参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36)

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