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2.5　解直角三角形的应用
第1课时　仰角、俯角问题
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仰角、俯角
(1)如图,在实际测量中,从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做　　　　;从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做　　　　.如图,∠1为仰角,∠2为俯角.
仰角
俯角
(2)无论是仰角还是俯角,它们都是　 　 与观察者眼睛所在　 　 　.
的夹角.
特别提醒:在实际问题中,遇到仰角或俯角时,通常要将仰角或俯角放在直角三角形或转化到直角三角形中,注意先确定水平线.
视线
水平线
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仰角、俯角问题
[典例]烽燧即烽火台,是古代军情报警的一种措施,某数学兴趣小组利用无人机测量一烽燧的高度,示意图如图,无人机飞至距地面高度
31.5 m的A处,测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°,测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°,试根据提供的数据计算烽燧BC的高度.
(结果保留整数.参考数据:sin 50°≈0.8,cos 50°≈0.6,tan 50° ≈1.2,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
[变式1](2022南通)如图,B为地面上一点,测得B到树底部C的距离为
10 m,在B处放置1 m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为　　　 　m.(结果保留根号)
①③④　
当图形中没有直角三角形时,不会通过作高或垂线构造直角三角形,从而出错.
[变式3]如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,如果此时热气球C处的高度为200 m,点A,B,C在同一平面上,则A,B两点间的距离是　　　　　　m(结果保留根号).
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2.3　用计算器求锐角三角比
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1.用计算器求锐角三角比
度
=
2.根据三角比的值,用计算器求锐角
启动开机键后,在角的度量单位为“　　　　”的状态下,先按副功能键“　　 　”和相应三角比的名称键,再输入三角比的值,按“　　”键后,屏幕上就可以显示以度为单位的锐角.
特别提醒:不同的计算器,操作步骤有所不同.
度
2ndF
=
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求三角比或锐角的按键顺序
C
D
利用计算器进行计算
1.44
解:(1)sin 47°≈0.731 4.
(2)sin 12°30′≈0.216 4.
(3)tan 44°59′59″≈1.000 0.
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2.4　解直角三角形
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1.直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c 边 a2+b2=c2
角 ∠A+∠B=　　　
边与角
90°
2.解直角三角形
(1)由直角三角形中　　　　　　求出　　　　　　的过程,叫做解直角三角形.
(2)在直角三角形中,除直角以外,已知　　　　个元素(至少1个是
　　　　),可以求出其他元素.
特别提醒:在解直角三角形的过程中,选择关系式常遵循以下原则:
一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式;
二是设法选择便于计算的关系式,若能用乘法计算,则避免用除法计算.
已知的元素
未知元素
2
边
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解直角三角形
A
解直角三角形
(1)在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.
(2)解直角三角形要用到的关系:
①锐角、直角之间的关系;
②三边之间的关系;
③边、角之间的关系.
解非直角三角形
[典例2](2023周村月考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=105°,AC= 4,求AB的长.
2或4
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第2课时　方向角问题
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方向角
(1)指北或指南的方向线与目标方向线所形成的锐角叫做　　　　 .
(2)如图,点A关于点O的方向角为　　　　偏东　　　　,点B关于点O的方向角为　　　　偏西　　　　.
方向角
北
60°
南
75°
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方向角问题
34
[变式1](2023东昌府模拟)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为　　　　海里.(结果保留根号)
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数;
解:(1)由题意,得∠NAC=80°,∠BAS=25°,
∴∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°,
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°.
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).
方向角问题
(1)在辨别方向角问题中,一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.
(2)在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角不在直角三角形中,需要用到“两直线平行,内错角相等”等知识转化为所需要的角.
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2.2　30°,45°,60°角的三角比
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30°,45°,60°角的三角比
三角比 锐角α
30° 45° 60°
sin α 　　　 　　　 　　　
cos α 　　　 　　　 　　　
tan α 　　　 　　　 　　　
1
特别提醒:(1)当α为锐角时,正弦值sin α、正切值tan α随α的增大而增大,余弦值cos α随α的增大而减小.
(2)当∠A,∠B都是锐角时,若sin A=sin B或cos A=cos B或tan A=
tan B,则∠A=∠B.
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特殊角的三角比
[典例1]在△ABC中,∠A=105°,∠C=45°,则cos B的值为(　　)
B
A
利用特殊角的三角比求角
D
熟记特殊角的三角比的方法
(1)按值的变化规律去记,正弦逐渐增大,余弦逐渐减小,正切逐渐
增大;
(2)按特殊直角三角形中各边的特殊值去记.
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2.1　锐角三角比
第2章　解直角三角形
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锐角三角比
(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(2)锐角A的　　　　、　　　　、　　　　统称锐角A的三角比.
特别提醒:∠A的正弦、余弦、正切实际上都是比值,没有单位,它们只与∠A的大小有关,即随∠A的大小的变化而变化,与三角形的边长无关.
正弦
余弦
正切
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求锐角三角比
[典例1](2023聊城质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一
点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦、余弦和正切的值.
[变式1](2023诸城质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,则cos A的值是(　　)
A
锐角三角比的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)正弦:锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sin A.
(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cos A.
(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tan A.
利用锐角三角比求边
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第3课时　坡度、坡角问题
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坡度与坡角
如图:
(1)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做　　　　(或坡比),一般用i表示,即i=　　　　.表示坡度时,通常写成i=1∶m的形式,如i=1∶5.
坡度
h∶l
(2)坡面与水平面的夹角α叫做　　　　.
(3)坡度i与坡角α之间的关系为i=　 　　　.
特别提醒:(1)坡度的结果不是一个度数,而是一个比值,不要与坡角
混淆.
(2)坡度越大,坡角越大,坡面越陡;反之,坡度越小,坡角越小,坡面
越缓.
坡角
tan α
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坡度、坡角问题
①　 ②
(1)求∠ACB的度数;
解:(1)∵山坡Ⅱ的坡度i=1∶1,
∴CN=BN,∴∠BCN=45°,
∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.
解直角三角形的其他应用
[典例2](2023达州)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.示意图如图,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度.(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44,cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49,
sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
解:如图,过B作BT⊥ON于T,过A作AK⊥ON于K,作AD⊥MN于D.
在Rt△OBT中,OT=OBcos 26°≈3×0.9=2.7(m).
∵∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°,∴四边形BMNT是矩形,
∴TN=BM=0.9 m,∴ON=OT+TN≈3.6 m.
∵在Rt△AOK中,OK=OAcos 50°≈3×0.64=1.92(m),
∴KN=ON-OK≈3.6-1.92≈1.7(m).
易知四边形ADNK为矩形,∴AD=KN≈1.7 m.∴座板距地面的最大高度约为1.7 m.
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