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第2课时　圆周角定理的推论2,3
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1.推论2:同弧或等弧上的圆周角　　　　;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧　　　　.
特别提醒:推论2中“相等的圆周角所对的弧相等”前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这个条件,结论不一定成立.
2.推论3:直径所对的圆周角是　　　　;90°的圆周角所对的弦是
　　　　.
相等
直角
直径
相等
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圆周角定理的推论2
(2)四边形BCDE为菱形.
[变式1]如图,CD⊥AB于点E,若∠B=60°,则∠A的度数为(　　)
A.20° B.30°
C.40° D.60°
B
圆周角定理的推论3
[典例2](2023莘县质检)如图,已知☉O的直径BC为10,点A、点B、点C在☉O上,∠CAB的平分线交☉O于点D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)若AB=6,求AC,BD,CD的长.
[变式2]如图,A,D是☉O上的两个点,BC是直径,若∠D=40°,则∠OAC=
　 　度.
50
直径与圆周角关系的解题技巧
(1)见到直径想直角;
(2)圆中直角对直径;
(3)在解题中注意与勾股定理、锐角三角函数等知识的综合应用.
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第3课时　弧的度数
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圆心角与弧
(1)整个圆的　　　　叫做1°的弧.因此,1°的圆心角所对的弧是
　　　　的弧;反之,1°的弧所对的圆心角是　　　　的角.一般情况下,n°的圆心角所对的弧是　　　　的弧;反之,n°的弧所对的圆心角是　　　　的角.
(2)圆心角的度数与它所对弧的度数　　　　.
特别提醒:圆心角的度数与它所对弧的度数相等,不能说成圆心角与它所对的弧相等.
1°
1°
n°
n°
相等
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求圆心角和弧的度数
C
[变式1](2024高密模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以点B为圆心,BC长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,求弧DE的度数.
圆心角的度数与弧的度数之间的转化
(1)根据已知条件求出弧的度数,可得圆心角的度数;
(2)根据已知条件求出圆心角的度数,可得弧的度数.
圆心角、弧度数关系的应用
[典例2](2023巨野模拟)圆的一条弦把圆分为度数比为1∶3的两条弧,则弦心距与弦长的比为(　　)
A.1∶3 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶2
D
51°
[变式3](2023临清质检)已知☉O的直径是4,☉O上两点B,C分☉O所得的劣弧与优弧的度数之比为1∶3,则弦BC的长为　　　　.
解:(1)50°
(2)若OB=3,OA=4,求BC的长.
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3.5　三角形的内切圆
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1.三角形的内切圆
与三角形各边都　　　　的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的　　　　,这个三角形叫做圆的　　　　三角形.三角形的内心是三角形的三条　　 　　的交点,它到三角形各边的距离
　　　.任何一个三角形都有且只有　　个内心,三角形的内心在三角形的　　部.
相切
内心
外切
角平分线
相等
一
内
2.三角形内切圆的半径
(1)已知△ABC的三边为a,b,c,它的面积为S,则它的内切圆的半径r=
　　　　.
(2)已知Rt△ABC的直角边为a,b,斜边为c,则它的内切圆的半径r=
　　　　.
特别提醒:一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形.
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利用三角形的内切圆求线段长
[典例1](2023东昌府质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,则△ABC内切圆的半径为　　　　.
2
C
[变式2](2023肥城一模)如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F.已知△ABC的周长为36,AB=9,BC=14,则AF的长为(　　)
A.4 B.5
C.9 D.13
A
三角形的内切圆与内心
(1)三角形的内切圆是与三角形各边都相切的圆.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.
(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.
(3)三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
利用三角形的内切圆求角
[典例2](2023莱州一模)如图,点I是△ABC的内心,若∠I=116°,则∠A等于(　　)
A.50° B.52°
C.54° D.56°
B
[变式3](2023鄄城月考)如图,圆O是△ABC的内切圆,若∠ABC=60°, ∠ACB=50°,则∠BOC的度数为　　　　.
125°
不能灵活运用“三角形的内心是三角形三条角平分线的交点”这一知识而出错.
[变式4]如图,点D是△ABC的内心,AD的延长线和△ABC的外接圆相交于点E,连接BE,CE,且∠BAC=50°.
(1)∠BEC的度数为　　　　;
(2)∠BCE的度数为　　　　.
130°
25°
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3.4　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
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直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
图示
公共点的个数 　　 　　 　　
圆心到直线的距离d与半径r的关系 d　　　r d　　　r d　　　r
2
1
0
<
=
>
我们可以用直线与圆的公共点的个数来判定直线与圆的位置关系,也可以用圆心到直线的距离(通常用d表示)与圆的半径(r)的大小关系来判断直线与圆的位置关系.
公共点名称 交点 　　　 —
直线名称 割线 　　　 —
切点
切线
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确定直线与圆的位置关系
[变式1](2023鄄城质检)已知同一平面内有☉O和点A与点B,如果☉O的半径为6 cm,线段OA=10 cm,线段OB=6 cm,那么直线AB与☉O的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
D
A
直线与圆的位置关系
(1)依据公共点的个数判定
①相离:一条直线和圆没有公共点.
②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.
(2)依据☉O的半径r和圆心O到直线l的距离d判定
①直线l和☉O相交 d②直线l和☉O相切 d=r;
③直线l和☉O相离 d>r.
根据位置关系确定半径或圆心到直线的距离
[典例2](2023郓城期末)☉O的半径为5,若直线l与该圆相交,则圆心O到直线l的距离可能是(　　)
A.3 B.5 C.6 D.10
[变式3](2024曹县质检)如图,已知∠ACB=30°,CM=2,AM=5,以点M为圆心,r为半径作☉M,当☉M与线段AC有公共点时,r的取值范围是
　 　.
考虑问题不全导致漏解.
A
1≤r≤5
[变式4](2023莘县质检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,若以点C为圆心,r为半径的圆与边AB所在直线相离,则r的取值范围为
　　 ;若☉C与AB边只有一个公共点,则r的取值范围为
　　　　　　 　　.
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第3课时　圆内接四边形的性质
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1.圆内接多边形
所有顶点都在　 　　　的多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的　　　　圆.
2.圆内接四边形的性质(圆周角定理的推论4)
圆内接四边形的对角　　　　.
外接
互补
同一个圆上
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圆内接四边形的性质
(2)若☉O的半径为3,求BC的长.
解:(2)连接OB,OC(图略).
∵∠BDC=30°,∴∠BOC=60°.
∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OB=3.
[变式1](2022宜昌)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD的度数为(　　)
A.15° B.20° C.25° D.30°
B
[变式2](2023曹县质检)如图,点A,B,C,D在☉O上,∠D=60°,AB=AC,则∠ABC等于(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
B
[变式3](2022锦州)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径, ∠ADC=130°,连接AC,则∠BAC的度数为　　　　.
40°
[变式4](2023冠县月考)如图,圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠A=55°,∠E=30°,求∠F的度数.
解:∵∠A=55°,∠E=30°,
∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠BCD=180°-∠A=125°,
∴∠BCF=180°-∠BCD=55°,
∴∠F=∠ABE-∠BCF=95°-55°=40°.
圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角互补;
(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
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第3课时　切线的性质
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切线的性质定理
(1)内容:圆的切线　　　　于经过切点的半径.
(2)符号语言:
如图,∵直线l是☉O的切线,A为切点,
∴OA⊥l.
特别提醒:(1)圆的切线和圆有且只有一个公共点;
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.
垂直
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切线的性质
[典例1](2023历下三模)如图,AB为☉O的直径,PQ切☉O于点E,AC⊥PQ于点C,交☉O于点D.求证:AE平分∠BAC.
证明:如图,连接OE.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE.
∵PQ切☉O于点E,
∴OE⊥PQ.
∵AC⊥PQ,∴OE∥AC,
∴∠OEA=∠EAC,
∴∠OAE=∠EAC,∴AE平分∠BAC.
[变式1]如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,过点D作☉O的切线DC交AB的延长线于点C.若BC=4,CD=8,则☉O的半径为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.9
B
[变式2]如图,在平面直角坐标系中,☉M与x轴相切于点A,与y轴交于点B,C.若圆心M的坐标是(4,5),则弦BC的长度为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
D
切线的性质
(1)圆的切线垂直于经过切点的半径;
(2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
切线的判定与性质
[典例2](2023本溪)如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB= 2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求证:EF与☉O相切;
(1)证明:如图,连接OE.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,
∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE.
∵∠CAB=2∠EAB,
∴∠CAB=∠FOE.
又∵∠AFE=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠OFE.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠OFE,
∴∠OEF=90°,即OE⊥EF.
又∵OE是☉O的半径,
∴EF与☉O相切.
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第4课时　切线长定理
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切线长
(1)定义:经过圆外一点可以画圆的　　条切线,这点与其中一个　 　.
的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
(2)定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长　　　　.
两
切点
相等
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利用切线长定理求角
[典例1](2023临清质检)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB= 38°,则∠P=　　　　.
76°
[变式1](2024潍坊模拟)如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F, G,且AB∥CD,则∠BOC=　　　　度.
90
不能灵活运用切线长定理、等腰三角形的性质等知识求解而出错.
[变式2](2023郓城质检)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=20°,求∠P的度数.
解:根据切线的性质,得∠PAC=90°,
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°.
根据切线长定理,得PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA=70°,
∴∠P=180°-70°×2=40°.
利用切线长定理求线段长
[典例2](2023坊子质检)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别为P,C, D,若AB=4,AC=3,则BD的长是(　　)
A.2.5 B.2
C.1.5 D.1
D
[变式3](2023莘县期末)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A, B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=8,则△PCD的周长为(　)
A.8 B.12
C.16 D.20
C
[变式4](2024曹县质检)如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上, CD,ZCE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE的长为　 .
2
[变式5](2024聊城质检)如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为　　　　.
14
切线长定理的注意事项及隐含结论
(1)注意事项:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
(2)切线长定理包含两个结论:①线段相等(两条切线长相等);②角相等(圆外一点与圆心的连线平分过该点的两切线的夹角).
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第2课时　切线的判定
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切线的判定
(1)定义法:和圆有　　　　公共点的直线是圆的切线.
(2)圆心到直线的距离等于　　　　,这条直线是圆的切线.
(3)过　　　　的外端并且　　　 　半径的直线是圆的切线.
唯一
半径
半径
垂直于
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切线的判定
[典例](2023巴中改编)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,以AB为直径作☉O交BC于点D,过点D作DF⊥AC于点E,交BA的延长线于点F.求证:DF是☉O的切线.
证明:如图,连接OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD.
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半径,
∴DF是☉O的切线.
[变式1](2023肥城期末)如图,在平面直角坐标系中,半径为2的圆P的圆心P的坐标为(-3,0),将圆P沿x轴的正方向平移,使得圆P与y轴相切,则平移的距离为(　　)
A.1 B.3 C.5 D.1或5
D
[变式2](2023临清一模)如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　　　　cm时,☉M与OA相切.
4
[变式3](2023荆州节选)如图,在菱形ABCD中,DH⊥AB于点H,以DH为直径的☉O分别交AD,BD于点E,F,连接EF.
求证:CD是☉O的切线.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD.
∵DH⊥AB,∴∠CDH=∠DHA=90°,
∴CD⊥OD.
∵D为☉O的半径的外端点,
∴CD是☉O的切线.
应用切线判定定理时的两点注意
(1)切线必须满足两个条件
①经过半径的外端;
②垂直于这条半径.
(2)在判定一条直线为圆的切线时,有两种作辅助线的方法,分别为“无交点,作垂线段,证半径”,“有交点,作半径,证垂直”.
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3.6　弧长及扇形面积的计算
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有关弧长的计算
150°
[变式2](2023郴州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B= 60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB′C′,若点B的对应点B′恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是　　　　cm.(结果用含π的式子表示)
(2)在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位;
(3)在弧长的计算公式中,已知l,n,R中的任意两个,可求第三个.
有关扇形面积的计算
[典例2](2023新泰期中)如图,一个半径是2 cm的圆,在其中画一个圆心角为120°的扇形,这个扇形的面积为　　　　cm2.
[变式3](2023诸城一模)如图,圆心重合的两个圆的半径分别为4,2, ∠AOB=120°,则阴影部分的面积为(　　)
C
不能将阴影部分灵活转化进行求解.
[变式5]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E是斜边AC上一点,以AE为直径的☉O经过点D,交AB于点F,连接DF.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(1)证明:连接OD(图略).
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠BAD,
∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AB,
∴∠ODC=∠B=90°,∴半径OD⊥BC,
∴BC是☉O的切线.
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3.7　正多边形与圆
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1.正多边形的性质
(1)正多边形都是　　　　图形,一个正n边形有 　　条对称轴.
(2)正多边形的各条对称轴相交于一点,这点到正多边形的各个顶点的距离　　　　,到各边的距离　　　　.
(3)任何正多边形都有一个　 　　和一个　　 　,这两个圆是
　　　　,圆心是各　　　　的交点.
轴对称
n
相等
相等
外接圆
内切圆
同心圆
对称轴
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2.正多边形的相关概念
(1)正多边形的　　　　圆和　　　　圆的公共圆心叫做正多边形的中心,　　　　圆的半径叫做正多边形的半径,　　　　圆的半径叫做正多边形的边心距.
外接
内切
外接
内切
外接圆
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正多边形的性质及计算
B
D
[变式2](2023潍坊模拟)正五边形ABCDE和正三角形EFG按如图的位置摆放,其中点A,B,F在同一直线上,EG∥BF,则∠DEG的度数是　　　　.
144°
[变式3](2023河北)将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图①,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上,两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图②,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图②中:
(1)∠α=　　　　度;
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为　　　　.(结果保留根号)
30
[变式4](2023牡丹质检)如图,正方形ABCD是半径为R的☉O的内接四边形,R=6.求正方形ABCD的边长和边心距.
正多边形与圆
(1)正多边形与圆的关系:把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
(2)正多边形的有关概念
①中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.②正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径.③中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.④边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
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3.3　圆周角
第1课时　圆周角定理及推论1
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1.圆周角
顶点在　　　　,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条　　　　,像这样的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及推论1
(1)圆周角定理
圆周角等于它所对弧上的圆心角的　　　　.
(2)推论1
圆周角的度数等于它所对弧的度数的　　　　.
特别提醒:同一条弧所对的圆周角有无数个,同一条弧所对的圆心角只有一个.
圆上
弦
一半
一半
考点梳理
圆周角定理
[变式1](2022阜新)如图,A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是(　　)
A.35°
B.55°
C.60°
D.70°
B
圆周角及圆周角定理
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两条边都与圆相交.二者缺一不可.
(2)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理的推论1
[典例2](2023聊城模拟)如图,☉O的弦AB,DC的延长线相交于点E, ∠AOD=150°,弧BC为70°.求∠ABD,∠AED的度数.
46°
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A
0●
C
D
E
B(共10张PPT)
第2课时　弧、弦、圆心角之间的关系
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1.圆的对称性
圆绕着它的圆心旋转180°,能与自身重合,所以圆是　　　　　　图形,　　　　是它的对称中心.
2.圆心角、弧、弦之间的关系
(1)圆心角:顶点在　　　　的角叫做圆心角.
(2)定理:在　　　　或　　　　中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别　　　　.
中心对称
圆心
圆心
同圆
等圆
相等
CD
∠COD
CD
∠COD
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弧、弦、圆心角之间的关系
[变式1](2023曹县质检)下列说法正确的是(　　)
A.同弧或等弧所对的圆心角相等
B.所对圆心角相等的弧是等弧
C.弧长相等的弧一定是等弧
D.平分弦的直径必垂直于弦
A
B
圆心角、弧、弦三者之间的关系
在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等.三项“知一推二”,一项相等,其余两项皆相等.
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A
M
D
C
E
N
B
A
M
E
N
B(共12张PPT)
3.2　确定圆的条件
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1.确定圆的条件
(1)经过一点A可以作　　　　个圆;经过两点A,B可以作　　　　个
圆,这些圆的圆心在线段AB的　　　　 　　上.
(2)不在同一条直线上的三个点确定　　　　个圆.
2.三角形的外接圆
(1)经过三角形　　　　　　的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的　　　　　,这个三角形叫做这个圆的　　　 　　　.
(2)三角形的外心是三角形三条边的　　　　　 　的交点,它到三角形三个　　　　的距离相等.
无数
无数
垂直平分线
一
三个顶点
外心
内接三角形
垂直平分线
顶点
特别提醒:①三角形有且只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三
角形.
②锐角三角形的外心在三角形的内部;
直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.反证法
(1)定义:先提出与命题的结论　　　　的假设,推出矛盾,从而证明命题成立,这种证明的方法叫做反证法.
相反
(2)用反证法证明的步骤
①否定结论——假设命题的　　　　不成立;
②推出矛盾——从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的　　　　　　或已知的　　　　　　、　　　　　　、
　　　　　　等相矛盾的结果;
③肯定结论——由矛盾判定　　　　不正确,从而肯定命题的结论
正确.
结论　
条件
定义
基本事实
定理
假设
考点梳理
三角形的外接圆与外心
[典例1](2023永安月考)如图的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的外心是(　　)
A.点D B.点E
C.点F D.点G
A
[变式1](2023胶州期中)某公园的A,B,C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,则售票中心应建立在(　　)
A.△ABC三边高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三边中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
D
不熟悉三角形外心是三边垂直平分线的交点导致出错.
[变式2]如图,点O是△ABC的外心,连接OA,OB,若∠OBA=20°,则∠AOB的度数为　　　　　.
140°
反证法
[典例2](2023牡丹期中)用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设(　　)
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
D
[变式4]用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补.
已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.
求证:∠1+∠2=180°.
证明:假设∠1+∠2　　　　180°.
∵l1∥l2,
∴∠1　　　　∠3.
∵∠1+∠2　　　　180°,
∴∠3+∠2≠180°,这和　　　　　　　矛盾,
∴假设∠1+∠2　　　　180°不成立,
即∠1+∠2=180°.
≠
=
≠
平角为180°
≠
用反证法证明的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确.
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3.1　圆的对称性
第1课时　垂径定理
第3章　对圆的进一步认识
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知识梳理
考点梳理
知识梳理
1.圆的对称性
圆是　　 　　图形,每一条　　　　所在的直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
垂直于弦的直径　　　 　以及弦所对的　　 　　.
符号语言:如图,
∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,
轴对称
直径
平分弦
两条弧
DE
特别提醒:若一条直线具有以下五条中的任意两条,则必然具备其余的三条.
(1)经过圆心;
(2)垂直于弦;
(3)平分弦(被平分的弦不是直径);
(4)平分弦所对的优弧;
(5)平分弦所对的劣弧.
考点梳理
垂径定理
[典例1]如图,在直径为10 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC=(　　)
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
[变式1](2023临清质检)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=AP=8,则☉O的半径为(　　)
B
A.10 B.8
C.5 D.3
C
[变式2](2023张家港月考)如图,☉O的弦AB=8 cm,DC=2 cm,直径CE⊥ AB于D,求半径OC的长.
垂径定理及其推论
(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
(2)垂径定理的推论
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
推论3:平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
垂径定理的应用
[典例2](2022青海)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,那么☉O的半径为　　　　m.
[变式3]如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是　　 　mm.
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