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4.5　一元二次方程根的判别式
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1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的个数由代数式　　　 　的值的符号决定,因此把　　 　　叫做一元二次方程根的判别式,通常用Δ表示,即Δ=　　　　.
2.一元二次方程根的情况
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况:
(1)当Δ>0时,方程有两个　　　　的实数根;
(2)当Δ=0时,方程有两个　　　　的实数根;
(3)当Δ<0时,方程　　　　实数根.
b2-4ac
b2-4ac
b2-4ac
不相等
相等
没有
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利用判别式判断方程根的情况
[典例1](2023菏泽模拟)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当方程根的判别式等于5时,m=　　　　.
(1)证明:Δ=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4.
∵(m+1)2≥0,∴(m+1)2+4>0,即Δ>0,
∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:0或-2
[变式1](2022安顺)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b= (a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是(　　)
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
B
[变式2]关于x的一元二次方程x(x+3)=3x-3的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
D
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac的关系
(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
根据判别式确定字母的取值范围
[典例2](2022广州)已知T=(a+3b)2+(2a+3b)·(2a-3b)+a2.
(1)化简T;
(2)若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根,求T的值.
解:(1)T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a2=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2=6a2+6ab.
(2)∵关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2a)2-4(-ab+1)=0,
∴a2+ab=1,∴T=6×1=6.
[变式3](2023张家界)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　.
[变式4](2023贵州)若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数根,则k的值是　　.
a>-1
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4.7　一元二次方程的应用
第1课时　面积问题与利润问题
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1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
(1)审题;(2)设　　　　;(3)列　　　　;(4)解方程;(5)检验根是否符合实际情况,确定未知数的值;(6)作答.
2.利润问题
(1)售价-进价=　　　　;
未知数
方程
利润
总利润
销售额
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面积问题
[典例1](2023坊子质检)如图,在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建道路(图中阴影部分),余下部分铺设草坪,要使得草坪的面积为243平方米,则可列方程为(　　)
A.28×10-28x-10x=243
B.(28-x)(10-x)+x2=243
C.(28-x)(10-x)=243
D.2(28-x+10-x)=243
C
[变式1](2022青海)如图,小明同学用一张长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm,则可列出关于x的方程为　 .
(11-2x)(7-2x)=21
[变式2](2023济南质检)有本长为26 cm、宽为18.5 cm、厚为1 cm的数学书.小明用一张面积为1 120 cm2的矩形纸包这本数学书,书皮展开后示意图如图,图中虚线为折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的小正方形,小正方形的边长即为折叠进去的宽度,设小正方形的边长(即折叠进去的宽度)为
x cm,求x的值.
解:依题意,得
(18.5×2+1+2x)(26+2x)=1 120,
整理,得x2+32x-33=0,
解得x1=1,x2=-33(不合题意,舍去).
答:x的值为1.
利润问题
[典例2](2023聊城模拟)某公司设计了一款工艺品,每件的成本是40元,为了合理定价,投放市场进行试销:据市场调查,销售单价是50元时,每天的销售量是100件,而销售单价每提高1元,每天就少售出2件.但要求销售单价不得超过65元,要使每天销售这种工艺品盈利1 350元,那么每件工艺品售价应为　　　　元.
[变式3](2024高密期末)将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,则为了赚得8 000元的利润,售价应定为　　　 　元.
55
60或80
利润问题的主要关系式
(1)利润=售价-进价;
(2)利润率=(售价-进价)÷进价×100%;
(3)售价=进价×(1+利润率);
(4)亏损=进价-售价;
(5)亏损率=(进价-售价)÷进价×100%;
(6)总利润=每件利润×总件数.
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4.2　用配方法解一元二次方程
第1课时　用配方法解二次项系数是1的一元二次方程
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1.用直接开平方法解一元二次方程
当一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负实数时,可以根据　　　　的意义,通过开平方求出这个方程的解.
2.用配方法解一元二次方程
当二次项的系数为1时,可先把　　　　移到方程的右边,然后在方程的两边都加上　　　　系数的一半的平方,就把方程的左边配成了一个　　　　　　式,从而可以由　　　　的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
平方根
常数项
一次项
完全平方
平方根
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用直接开平方法解一元二次方程
C
[典例1](2023平阴期末)一元二次方程x2-9=0的根是(　　)
A.x=3 B.x=-3
C.x1=3,x2=-3 D.x1=9,x2=-9
[变式1](2023东明期末)方程2x2-8=0的根是(　　)
A.x=2 B.x=-2
C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4
C
[变式2]用直接开平方法解下列方程:
(1)16x2-1=0;
(2)3(x-2)2-27=0;
(2)方程整理,得(x-2)2=9,
开方,得x-2=3或x-2=-3,
解得x1=5,x2=-1.
(3)(2x-1)2=(3-x)2.
直接开平方法的三点注意
(1)等号左边是一个数的平方的形式,而等号右边是一个非负数.
(2)降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
(3)方法是根据平方根的意义开平方.
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程
[典例2](2022雅安)若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则c的值为(　　)
A.-3 B.0 C.3 D.9
[变式3](2022荆州)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是　　　　.
C
1
二次项系数是1的一元二次方程配方时忘记方程两边同时加上一次项系数一半的平方而出错.
[变式4]用配方法解下列方程:
(1)x2-2x-1=0;
(2)x2-8x-1=0;
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4.4　用因式分解法解一元二次方程
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因式分解法
当一元二次方程的一边是　　,另一边可以分解为两个　　　　因式的积时,可分别令两个一次因式为　　　,得到两个一元一次方程.这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
0
一次
0
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用因式分解法解一元二次方程
[典例1](2023东明月考)若某三角形两边的长分别等于方程x(x-9)+ 4(9-x)=0的两个实数根,则这个三角形的第三边长可能是(　　)
A.5 B.10 C.13 D.14
[变式1](2024临清期末)方程(x+2)(x+1)=x+2的解为(　　)
A.x1=0,x2=2 B.x1=0,x2=-2
C.x1=-1,x2=-2 D.x1=x2=-1
B
B
[变式2](2023茌平质检)用因式分解法解下列方程:
(1)(x+1)2=16; (2)x(x-1)=2(x-1).
解:(1)(x+1)2=16,(x+1)2-16=0,
∴(x+1+4)(x+1-4)=0,
∴x+1+4=0或x+1-4=0,
∴x1=-5,x2=3.
(2)x(x-1)=2(x-1),x(x-1)-2(x-1)=0,(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0,
∴x1=1,x2=2.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项,使方程的右边化为零;
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)令两个一次因式为零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
用适当的方法解一元二次方程
[典例2](2023曹县月考)菱形的一条对角线长为10,其边长是方程x2-10x+24=0的一个根,则该菱形的周长为　　　　.
24
不能灵活选用合适的方法解方程或考虑问题不全,没有分类讨论而出错.
[变式3](2023坊子质检)若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程x2-9x=-14的根,则这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　.
16,6或21
[变式4](2024青州质检)解下列方程:
(1)x2-5x+1=0(用配方法);
(2)3(x-2)2=x(x-2);
解:(2)3(x-2)2=x(x-2),
移项,得3(x-2)2-x(x-2)=0,
(x-2)(3x-6-x)=0,
x-2=0或2x-6=0,
x1=2,x2=3.
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4.3　用公式法解一元二次方程
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公式法
一般情况下,对于一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac　　　0时,它的根是x=　　　 　,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.用
　　　　　　解一元二次方程的方法叫做公式法.
特别提醒:(1)利用求根公式解一元二次方程时,必须先将方程化成一般形式;
(2)将各项系数a,b,c的值代入公式时,不要漏掉前面的符号.
≥
求根公式
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求根公式
C
D
0
用公式法解一元二次方程
[典例2]已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根,则下面对a的估值正确的是(　　)
A.-1.5C.-4A
C
[变式4]用公式法解下列方程:
(1)2x2+3x=4;
(2)x(5x-1)=6x-1.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
(1)把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
(2)求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,则方程无实数根);
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式进行计算,求出方程的根.
注意:用公式法解一元二次方程的前提有两个:①a≠0;②b2-4ac≥0.
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第2课时　增长率问题与其他应用
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增长(降低)率问题
增长(降低)率问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式,正确解答此类问题的关键是掌握好此类问题中等量关系的确定方法:在存在基础量a的前提下,若连续增长(或降低)2次,且平均增长(或降低)率为x,则增长后的数量为　 　　　(或降低后的数量为　　 　　).
特别提醒:求得结果后要注意解的合理性,正确取舍.
a(1+x)2
a(1-x)2
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增长(降低)率问题
[典例1](2023重庆B卷)为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意,请列出方程:　 .
301(1+x)2=500
[变式1](2023曹县月考)近年来,我国大力推行药品集中带量采购制度,很多常用药的价格显著下降.受此影响,某种药品两次降价后,价格由每盒160元大幅调整为40元,则该药品平均每次降价的百分率为　　 .
50%
增长率问题分不清原数、增长率、增长次数与后来数之间的关系导致出错.
[变式2](2022眉山)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1 000万元,2021年投入资金1 440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.
解:(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,
依题意,得1 000(1+x)2=1 440,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去),
∴该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元,2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区.
其他问题
[典例2](2022黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,则参加比赛的队伍共有
(　　)
A.8支 B.10支 C.7支 D.9支
B
[变式3]某桶装水每桶的进价是5元,经营部规定销售单价不得高于12元,也不得低于7元.调查发现日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数图象如图.
(1)求日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数关系式.
(2)若该经营部希望日均获利1 600元,则销售单价是多少
解:(2)根据题意,得(x-5)(-50x+850)=1 600,
整理,得x2-22x+117=0,
解得x1=9,x2=13(不符合题意,舍去).
答:销售单价是9元.
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
(1)审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
(2)设:根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
(3)列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
(4)解:准确求出方程的解.
(5)验:检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.
(6)答:写出答案.
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4.1　一元二次方程
第4章　一元二次方程
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1.一元二次方程的定义
方程的两边都是　　　,都只含有　　　个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是　　,像这样的方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程都可以化为　　　　　　(a≠0)的形式,称为一元二次方程的一般形式.其中　　　　,　　　　,　　　　分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项,　　　　,　　　　分别叫做二次项系数和一次项系数.
整式
一
2
ax2+bx+c=0
ax2
bx
c
a
b
3.一元二次方程的根的近似值
估算一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的根的近似值的实质是找到使　　　 　的值接近　　　　的x值.
ax2+bx+c
0
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一元二次方程的相关概念
C
不理解一元二次方程及其一般形式的含义,导致解题时出错.
[变式1](2023聊城模拟)将一元二次方程(2x-1)·(x+2)=3化成一般形式正确的是(　　)
A.2x2+3x-5=0
B.2x2+3x+1=0
C.2x2-3x-5=0
D.2x2+3x-2=3
[变式2](2023阳谷期末)若关于x的方程(k-1)·x|k|+1-4x+5=0是一元二次方程,则k=　　　.
A
-1
一元二次方程的解
[典例2](2022资阳)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根,则2a2+4a的值是　　　　.
[变式3](2023东阿三模)观察下列表格,估计一元二次方程x2+3x-5=0的正数解在(　　)
A.-1和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间
6
x -1 0 1 2 3 4
x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23
C
[变式4](2022广东)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a=　　　　.
1
一元二次方程的解及其估算
(1)一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根.
(2)估算一元二次方程的近似解:给出一些未知数的值,计算方程两边的结果,当两边的结果越接近时,说明未知数的值越接近方程的根.
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*4.6　一元二次方程根与系数的关系
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一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=　　　　, x1x2= .
特别提醒:一元二次方程根与系数的关系主要有以下几方面的应用(前提是Δ≥0):①检验一个方程的根是否正确;②已知方程的一个根,求另一个根及字母系数的值;③已知两根的关系,求方程中字母系数的
值;④已知两根x1,x2,确定一元二次方程,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
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利用根与系数的关系求方程的根及代数式的值
[典例1](2023高唐月考)若方程x2-3x+1=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为(　　)
A.12 B.10 C.7 D.4
[变式1](2023眉山)已知方程x2-3x-4=0的根为x1,x2,则(x1+2)·(x2+2)的值为　　　　.
C
6
1
[变式3]已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1,x2两个实数根.若x1-x2=0,求m的值,并求x1,x2的值.
解:∵x1+x2=6,x1-x2=0,
∴x1=x2=3.
∵x1x2=2m-1,∴2m-1=9,
∴m=5.
常用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题
(1)不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.
(2)已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数的值.
(4)判断两根的符号.
(5)求新方程.
(6)由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.
利用根与系数的关系确定字母的值
[典例2](2023莘县质检)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根α和β.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若α+αβ=6-β,求m的值.
[变式4](2023肥城月考)若关于x的一元二次方程x2-(m2-m-6)x+m=0的两个根互为相反数,则m的值为(　　)
A.3或-2 B.-2
C.3 D.2或-3
B
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第2课时　用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
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用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤
(1)把二次项系数化为　 　(即方程的两边同时除以二次项系数);
(2)移项:将常数项移到方程的　　　　;
(3)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为(x+m)2=n的形式;
(4)由平方根的意义,求出方程的　　　　.
以上步骤可简记为:一化,二移,三配,四求解.
1
右边
解
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用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
[典例1](2023胶州月考)用配方法解方程:
(1)4x2-1=8x;
(2)3y2+8y-3=0.
C
用配方法解一元二次方程的步骤
(1)把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
(2)方程两边同除以二次项系数,使二次项系数化为1,并把常数项移到方程右边.
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
(4)把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数.
(5)如果右边是非负数,那么就可以进一步通过直接开平方法求出它的解;如果右边是一个负数,那么判定此方程无实数解.
配方法的应用
[典例2](2023渭滨期末)阅读以下材料,并解决问题.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
把等式左边的式子变形,得(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,
∴(m+1)2+(n-3)2=0.
∴m+1=0,n-3=0.
即m=-1,n=3.
利用以上方法,解决下列问题:
(1)已知x2-4x+y2+2y+5=0,则x=　　　　,y=　　　　;
(2)已知a,b,c是等腰三角形ABC的三边长,满足a2+b2=12a+8b-52,求c的值.
解:(1)2　-1
(2)∵a2+b2=12a+8b-52,
∴a2-12a+36+b2-8b+16=0,
∴(a-6)2+(b-4)2=0,
∴a-6=0,b-4=0,∴a=6,b=4.
∵△ABC是等腰三角形,
∴c=4或6.
[变式2]若a,b都是有理数,且满足a2+b2+5=4a-2b,则(a+b)2 024=　　 .
[变式3](2023聊城模拟)若4x2+mx+n=(ax+2)2,则m=　　　,a=　　　,
n=　　　.
1
±8
±2
4
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