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第3章 二次根式
3.1 二次根式的概念及性质（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。
2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。
3.能运用性质化简二次根式或判断其正误。
学习重点：
1.积的算术平方根的性质及其推导。
2.最简二次根式的定义及化简方法。
学习难点：
1.性质运用中a,b非负性条件的把握。
2.将二次根式化为最简形式时的因式分解技巧。
3.区分最简二次根式与未化简根式的差异。
学习过程
一、复习巩固
计算：(1)=_____________； (2) =_____________；
(3)=_____________； (2) =_____________.
【回顾】
二次根式的性质：（1）
（2）
二、新知探究
探究：积的算术平方根的性质
教材第67页
【思考】(1)填空：
①=__________，=__________；
②=__________，=__________.
(2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和 的关系，并说明理由.
【归纳】
积的算术平方根的性质：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三、例题精讲
例4化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）.
例5化简下列二次根式：（1）；（2）.
动脑筋：观察从例 4和例 5，二次根式经过化简后的结果具有什么特点？
【归纳】二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：____________________________________，且_____________________________. 这样的二次根式叫作最简二次根式.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.若 ，则m、n满足的条件是（　　）．
A． B． ，
C． ， D． ，
2.下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3.下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
选做题
4.化简： （a＜0）＝　 　．
5.化简 　 　.
6.在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有　 　个．
【综合拓展类作业】
7.把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）； （2）； （3）； （4）．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.下列平方根中， 已经化简的是（　　）
A． B． C． D．
2.当，时，在下列各式的计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3.已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．2
4.如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
2.【答案】B
【解析】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故答案为：B.
3.【答案】C
【解析】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
4.【答案】
【解析】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
5.【答案】 .
【解析】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
6.【答案】．
【解析】解：最简二次根式有① ；② ；④ ，共3个，
故答案为：3．
7.【答案】解：（1）==2；
（2）==3；
（3）==；
（4）==．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. 是最简二次根式，故该选项正确；
D. ，故该选项错误.
故答案为：C.
2.【答案】B
【解析】解：A．∵，，
∴，
∴无意义，故A错误；
B．∵，，
∴
∴，故B正确；
C．∵，，
∴
∴，故C错误；
D．∵，，
∴
∴，故D错误．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】∵==2，
∴当n=6时，=6，
∴原式=2=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．
4．【答案】解：∵是最简二次根式，
∴5=1，
解得：，
∴==4，
∴的平方根为±2．
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第3章 二次根式
3.1 二次根式的概念及性质（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件(a≥0,b≥0)。
01
理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。
02
能运用性质化简二次根式或判断其正误。
03
02
新知导入
巩固练习
计算：(1)=_____________; (2) =_____________;
(3)=_____________; (2) =_____________.
6
3
4
二次根式的性质：（1）
（2）
03
新知探究
思考
(1)填空：
①=__________，=__________；
②=__________，=__________.
(2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和 的关系，并说明理由.
6
6
12
12
猜想： =
03
新知探究
理由：当a≥0，b≥0时,
因为，
又因为
因此= .
积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=
03
新知探究
化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）.
例4
解：（1） = = ×=3.
（2）= = ×=2.
（3）= = ×=6.
03
新知探究
注意事项
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数.
方法
运用积的算术平方根化简二次根式时，要先把被开方数分解因式，尽量分解出完全平方数而且使这个因数尽可能大，然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外.
03
新知探究
化简下列二次根式：（1）；（2）.
例5
解： （1）
（2）.
注意事项：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
03
新知探究
方法
若分子分母中不含平方因式，则将分子分母同时乘分子，然后将分子移到根号外，放在分子的位置；
如果分子分母中含平方因式，先将分子分母分解因式，尽量分解出完全平方数，再利用分式的基本性质将分子化成全是完全平方数的乘积，最后然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外，分别放到分子分母的位置。
03
新知探究
观察从例 4和例 5，二次根式经过化简后的结果具有什么特点？
1.被开方数中不含分母；
2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).
二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.若 ，则满足的条件是（　　）．
A． B．，
C．， D． ，
2.下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
B
B
04
课堂练习
3.下列变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.化简： （）＝　 　．
5.化简 　 　.
6.在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有
　 　个．
3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）==2；
（2）==3；
（3）===；
（4）==．
05
课堂小结
积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=
最简二次根式：
1.被开方数中不含分母；
2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列平方根中， 已经化简的是（　　）
A． B． C． D．
2.当，时，在下列各式的计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3.已知是整数，则正整数的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．2
B
C
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
解：∵是最简二次根式，
∴5=1，
解得：，
∴==4，
∴的平方根为±2．
07
板书设计
积的算术平方根的性质：
最简二次根式：
1.被开方数中不含分母；
2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).
3.1 二次根式的概念及性质（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第二课时《3.1 二次根式的概念及性质》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《积的算术平方根的性质及最简二次根式》是湘教版八年级上册第3章《二次根式》的第一节第二课时的内容。教材在学生已初步掌握二次根式定义与两条基本性质后，通过“”这一积的算术平方根性质的探究，把根式运算与乘法分配律、质因数分解等旧知衔接起来，为后续乘除混合运算、勾股定理计算斜边长度提供简化工具；同时首次系统提出“最简二次根式”的标准，这既是对性质的直接应用，也是后续所有运算的规范要求。
学习者分析 学生已掌握平方根、算术平方根的定义及实数分类，能进行简单的根式运算，但对“被开方数非负”的条件理解不够深入，易忽略积的算术平方根性质中a，b的非负性限制。学生具备初步的归纳推理能力，可通过具体例子发现规律，但在抽象性质推导和严格条件限制的把握上存在困难。此外，学生对最简二次根式的判断标准容易混淆，化简根式时易遗漏步骤或错误分解因数。因此，教学中需结合直观实例、对比辨析和分层练习，帮助学生突破理解难点，强化规范表达。
教学目标 1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。 2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。 3.能运用性质化简二次根式或判断其正误。 4.通过合作探究性质推导，发展归纳推理与逻辑表达能力。 5.体验“化繁为简”的数学美感，树立“规范即效率”的运算意识，增强合作交流与自我反思的习惯。
教学重点 1.积的算术平方根的性质及其推导。 2.最简二次根式的定义及化简方法。
教学难点 1.性质运用中a，b非负性条件的把握。 2.将二次根式化为最简形式时的因式分解技巧。 3.区分最简二次根式与未化简根式的差异。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 计算：(1)=_____________； (2) =_____________； (3)=_____________； (2) =_____________. 【回顾】 二次根式的性质：（1） （2）学生活动1： 快问快答，举手回答问题 回顾二次根式的性质活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：积的算术平方根的性质 教材第67页 【思考】(1)填空： ①=__________，=__________； ②=__________，=__________. (2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和 的关系，并说明理由. 猜想： = 理由：当a≥0，b≥0时， 因为， 又因为 因此= . 教师讲授： 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. = 学生活动2： 认真观察，寻找共同特征，初步感知积的算术平方根的性质 认真听讲，探究积的算术平方根的性质 认真听讲，理解积的算术平方根的性质活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例4化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）. 解：（1） = = ×=3. （2）= = ×=2. （3）= = ×=6. 教师讲授：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数. 方法：运用积的算术平方根化简二次根式时，要先把被开方数分解因式，尽量分解出完全平方数而且使这个因数尽可能大，然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外. 例5化简下列二次根式：（1）；（2）. 解： （1） （2）. 教师讲授：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母. 方法：若分子分母中不含平方因式，则将分子分母同时乘分子，然后将分子移到根号外，放在分子的位置；如果分子分母中含平方因式，先将分子分母分解因式，尽量分解出完全平方数，再利用分式的基本性质将分子化成全是完全平方数的乘积，最后然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外，分别放到分子分母的位置。 动脑筋：观察从例 4和例 5，二次根式经过化简后的结果具有什么特点？ 特点：1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式). 【归纳】二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考 认真听讲，了解最简二次根式的概念活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. = 最简二次根式： 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若 ，则满足的条件是（　　）． A． B．， C．， D． ， 2.下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3.下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 选做题： 4.化简： （a＜0）＝　 　． 5.化简 　 　. 6.在① ；② ；③ ；④ 中，最简二次根式有　 　个． 【综合拓展类作业】 7.把下列二次根式化成最简二次根式． （1）； （2）； （3）； （4）．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列平方根中， 已经化简的是（　　） A． B． C． D． 2.当，时，在下列各式的计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3.已知是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．2 【综合拓展类作业】 4.如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
教学反思 部分学生对性质中a，b非负性的理解仍停留在表面，需结合反例强化条件限制；在化简根式时，学生对复杂被开方数的因式分解掌握不牢，需增加专项训练；课堂互动中，个别学生参与度不足，后续可采用“随机点名”“小组竞赛”等方式提升全员参与度。此外，最简二次根式的判断标准需通过对比辨析进一步明确。总体而言，本节需在直观教学与抽象推理的结合、条件限制的强调及互动形式优化上持续改进。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第3章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。本章内容在学生学习了有理数的运算、平方根、立方根、实数以及整式运算等知识的基础上，进一步深化对数的认识，并引入代数式运算的新内容。教材通过实际问题引入二次根式的概念，使学生感受到数学与生活的紧密联系，再带领学生探究二次根式的性质与四则运算法则。本章内容不仅为后续学习一元二次方程、二次函数等知识奠定基础，还在培养学生逻辑推理能力、运算能力和数学建模能力方面具有重要作用。
学情分析 知识基础 学生已经掌握了有理数的四则运算、平方根与立方根的概念、实数的分类与运算、整式的加减乘除等基础知识，为学习二次根式提供了必要的认知基础。 能力水平 学生具备了一定的观察、分析、归纳和推理能力，能够通过具体问题抽象出数学模型，并运用所学知识解决实际问题。然而，对于二次根式的运算规则和性质，学生可能初次接触，需要逐步引导和强化训练。 学习特点 学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对新鲜事物充满好奇，但注意力容易分散。因此，在教学过程中应注重情境创设，激发学生的学习兴趣，同时采用多样化的教学方法和手段，保持学生的注意力集中。 学习困难 学生在理解二次根式的双重非负性、掌握二次根式的运算规则以及进行复杂运算时可能会遇到困难。此外，将二次根式与实际问题相结合，建立数学模型并求解，也是学生需要克服的挑战。
单元目标 （一）教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。 3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。 4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。 5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。 6.经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学思考过程，培养学生的归纳概括能力和类比迁移能力。 7.在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，提高数学建模能力。 8.激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 9.引导学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养认真细致、一丝不苟的学习态度。 （二）教学重点、难点 重点 1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。 3.二次根式在几何情境中的表达与化简。 难点 1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。 2.乘除运算中的“目的性有理化”——为什么有理化、怎样选择有理化因式。 3.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。 4.从实际问题抽象出二次根式模型并解释结果的意义。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1二次根式的概念及性质23.2二次根式的乘法和除法23.3二次根式的加法和减法2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1 二次根式的概念及性质（1）1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。 2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。 任务二：探究新知，理解二次根式的概念。 任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。 任务四：独立思考，探究二次根式的性质。 任务五：巩固练习，课堂小结。3.1 二次根式的概念及性质（2）1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。 2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。 能运用性质化简二次根式或判断其正误。任务一：填空，进行猜想。 任务二：探究新知，利用二次根式的性质进行证明。 任务三：例题精讲，化简二次根式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 二次根式的乘法和除法（1）1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.2 二次根式的乘法和除法（2）1.掌握商的算术平方根的性质：。 2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。 3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。 2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，探究二次根式除法法则. 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（1）1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。 2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。 3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。 任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。 任务三：例题精讲，进行加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（2）1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。 2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。 任务三：例题精讲，进行混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.能够系统、全面地理解二次根式的概念，深入掌握二次根式有意义的条件。 2.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算，理解性质的本质和适用范围。 3.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算，包括运算顺序的正确把握、符号的准确处理，并将运算结果熟练化为最简二次根式。1.能准确无误地确定各种形式下被开方数中字母的取值范围。 2.能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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