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广东省惠州市惠州一中集团2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·惠州模拟）计算：（　　）
A． B．14 C． D．
2．（2025·惠州模拟）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·惠州模拟）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·惠州模拟）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·惠州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·惠州模拟）若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　)
A． B． C．± D．±
7．（2025·惠州模拟）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·惠州模拟）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
9．（2025·惠州模拟）如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·惠州模拟）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025·惠州模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·惠州模拟）在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队8架舰载机的飞行训练次数如下（单位：次）：7，6，6，4，5，6，7，5，这组数据的众数是　 　.
13．（2025·惠州模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
14．（2025·惠州模拟）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则　 　．
15．（2025·惠州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025·惠州模拟）解不等式组：
17．（2025·惠州模拟）如图，在中，，．完成以下两个小题的解答：
（1）用尺规作的中点，并以为半径作（不写作法，保留作图痕迹），求证：与边相切；
（2）若恰好交于边的中点，求的半径长．
18．（2025·惠州模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025·惠州模拟）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
20．（2025·惠州模拟）某中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛；B-国画竞技；C-诗歌朗诵；D-汉字大赛；E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
“我最喜欢的活动”条形统计图 “我最喜欢的活动”扇形统计图
（1）此次随机抽取的初三学生共________人，________，并补全条形统计图；
（2）若该校共有3000名学生，请估计选D活动的学生人数；
（3）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．
21．（2025·惠州模拟）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍．
（1）求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？
（2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025·惠州模拟）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标．
（2）作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值．
（3）如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值．
23．（2025·惠州模拟）如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，．
（1）求点D与点E之间的最大距离；
（2）当最大时，连接，求的面积；
（3）在旋转过程中，线段与线段存在交点G，连接，若M是的中点，P是线段上的一个动点，当的值最小时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据有理数的加法运算法则求解，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再把绝对值相加．题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故该选项符合题意；
C、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可．
3．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，由数轴可得，，从而可得，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故选：A ．
【分析】由三角形外角性质可知，再由两直线平行，内错角相等可知.
5．【答案】D
【知识点】分式的加减法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，错误，不符合题意；
B.，错误，不符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据，，再结合合并同类项、分式的加减运算、幂的乘方对选项逐一运算即可求解。
6．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【解答】∵有意义，
解得：
的平方根是：
故选D．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，由此可列出关于n的一元一次不等式组，进而求得n的值，代入可得再由平方根的概念求其平方根即可.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴，
根据题意得，．
故选：B．
【分析】设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴，根据“每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴”列方程即可．
8．【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得，
整理得，
∵原方程无解，
∴当时，；
当时，此时，，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或2；
故选：D．
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可．本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图：
C为的中点，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查圆的性质及弧长公式，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．连接，由，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得，又为的中点．故，即知，再根据弧长公式l=计算即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，
，，
对称轴为直线
，，
故①正确；
，，
，
故
故②错误；
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为；
二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为；
时，；
将代入中，则
故③正确；
由函数图象可知，当当时，，故④正确；
故正确的个数为：个
故选：C
【分析】根据二次函数开口向上，所以，与轴交于负半轴，所以，根据对称轴为直线可得，所以①正确；，，所以，所以②错误；由对称性可以求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，把带入到中，即可得到，所以③正确；由函数图象可知，当时，的图像在x轴的下方，所以，故④正确．
11．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
12．【答案】6
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得，数据6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6.
故答案为：6.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．判别式大于0，方程有两个不同实数根，判别式等于0，方程有一个实数根，判别式小于零，方程没有实数根.
14．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】由平行四边形的性质可知，，，继而可得，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长．
15．【答案】72
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；等腰三角形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：如图，作，垂足为，
，且，
，
由勾股定理得：，
轴，点的坐标为，
，，
点向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为，
平移后点、在反比例函数图象上，
，
解得：，
平移后点坐标为，
，
故答案为：．
【分析】本题主要对反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质，点的平移规律等知识进行考查．根据题意，作，垂足为，因为是等腰三角形，所以，，根据题意轴且点的坐标为，所以可得，，因为向下平移m个单位，所以坐标变为，点坐标变为，因为两点在反比例函数上，所以有，解得，所以k=72．
16．【答案】解：由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀“大小小大中间找”确定出公共部分，即可得出结果．
17．【答案】（1）解：如图，点D和即为所求；
证明：∵，为的中点，
∴，
∵为的半径，
∴与边相切；
（2）解：设边的中点为点E，的半径为r，∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-中线
【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，尺规作图，勾股定理等知识点．（1）根据题意，作的平分线交于点D，以为半径作，根据，且AD为斜边中线，所以有，进一步可证与边相切；
（2）根据题意设边的中点为点E，的半径为r，所以有，在中，根据勾股定理有，解得．
（1）解：如图，点D和即为所求；
证明：∵，为的中点，
∴，
∵为的半径，
∴与边相切；
（2）解：设边的中点为点E，的半径为r，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为．
18．【答案】（1）解：过点A作于点F，如图所示：
∴△ABF为直角三角形，∠BFA=90°，
∵在中，米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
由题意得：四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，
∴，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，DG=3米，
∴（米），
在中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴（米）．
故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点F，在中解直角三角形，即可求出的长；
（2）过点A作于点G，可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，利用矩形的性质得，（米），分别在Rt△ACD和Rt△ABF中解直角三角形，求得FC和BF的长，由BF+CF，即可得到结论.
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要对一次函数的应用进行考查．
（1）根据题干表格信息进行描点；
（2）根据描点走势可以看出随着的增大而增大，根据待定系数法设函数，将点代入解得：，所以函数解析式为；
（3）将代入解得；
（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
20．【答案】（1）100，10，
条形图如下：
（2）解：（人）
答：估计选D活动的学生人数有600人．
（3）解：树状图如下：
有20种可能等结果，其中符合条件的有12种，
选出的两名选手正好是一男一女的概率是：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，选A的学生所占百分比为：，
则抽取的学生总数为：人，
选择E的学生所占百分比为：，
选择B的学生人数为：人，
故答案为100，10；
【分析】（1）计算出选A的学生所占百分比，再用选A的学生的人数除以所占百分比即可得到抽取的学生总数，再求出选择E的学生所占百分比，求出选择B的学生人数，补全统计图即可；
（2）利用总人数乘以选D活动的学生人数的百分比即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出选出的两名选手正好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据题意有：，
解得：
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意有：，
解得：，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设每株甲种树苗的进价为x元，所以乙种树苗进价为元，根据题意列分式方程为解得，所以每株甲种树苗进价为5元，乙种树苗的进价为8元．
（2）设购买乙种树苗m棵，则甲种树苗为棵，列的不等式方程，解得，所以应买乙种树苗60棵．甲种树苗40棵．
（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，
根据题意有：，
解得：
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，
根据题意有：，
解得：，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
22．【答案】（1）
（2）解：如图：
∵点F是直线与抛物线的交点，
∴
当时，
则，
∴
∵，
∴
解得 (舍去)或
当时，
过点作轴于点T
∵
∴
又，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
解得 (舍去)或
综上所述，t的值为4或3
（3）解：由点C的坐标为，
∵
∴对称轴
∵过点C作轴，交抛物线于点G
∴点G的坐标为
如图：
画出直线，
通过平移直线，得到直线
①发现当直线经过点G时，
直线与新图象只有2个公共点．
将点代入，
得
解得；
②当直线与抛物线只有一个公共点时，
直线与新图象只有2个公共点．
令
化简得
∴
解得
综上所述，n的值为1或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
∴令，
∴
结合图象，得出
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数的解析式，以及与轴的交点，计算即可作答．
（2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
（3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答．
（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
∴令，
∴
结合图象，得出
（2）解：如图：
∵点F是直线与抛物线的交点，
∴
当时，
则，
∴
∵，
∴
解得 (舍去)或
当时，
过点作轴于点T
∵
∴
又，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
解得 (舍去)或
综上所述，t的值为4或3
（3）解：由点C的坐标为，
∵
∴对称轴
∵过点C作轴，交抛物线于点G
∴点G的坐标为
如图：
画出直线，
通过平移直线，得到直线
①发现当直线经过点G时，
直线与新图象只有2个公共点．
将点代入，
得
解得；
②当直线与抛物线只有一个公共点时，
直线与新图象只有2个公共点．
令
化简得
∴
解得
综上所述，n的值为1或
23．【答案】（1）（1）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段的延长线上时，有最大值，
点与点之间的最大距离为；
（2）（2）解：如图，过点作于，过点作直线于，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，最大，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
（3）（3）解：如图，连接，过点作于，
，
，
又，，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
的等腰直角三角形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
点在以的直径的圆上，
当点与点重合时，有最小值，
如图，过点作于，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
又是的中点，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可求的长，由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求解；
（2）当与相切时，最大，由勾股定理可求的长，锐角三角函数可求的长，由“ “可证，可得，由三角形的面积公式可求解；
（3）由“”可证，可得，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由等腰直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，当点与点重合时，有最小值，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由平行线分线段成比例可求解．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段的延长线上时，有最大值，
点与点之间的最大距离为；
（2）解：如图，过点作于，过点作直线于，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，最大，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于，
，
，
又，，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
的等腰直角三角形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
点在以的直径的圆上，
当点与点重合时，有最小值，
如图，过点作于，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
又是的中点，
，
．
1 / 1广东省惠州市惠州一中集团2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·惠州模拟）计算：（　　）
A． B．14 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】根据有理数的加法运算法则求解，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再把绝对值相加．题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2025·惠州模拟）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故该选项符合题意；
C、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可．
3．（2025·惠州模拟）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，由数轴可得，，从而可得，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
4．（2025·惠州模拟）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故选：A ．
【分析】由三角形外角性质可知，再由两直线平行，内错角相等可知.
5．（2025·惠州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，错误，不符合题意；
B.，错误，不符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据，，再结合合并同类项、分式的加减运算、幂的乘方对选项逐一运算即可求解。
6．（2025·惠州模拟）若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　)
A． B． C．± D．±
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【解答】∵有意义，
解得：
的平方根是：
故选D．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，由此可列出关于n的一元一次不等式组，进而求得n的值，代入可得再由平方根的概念求其平方根即可.
7．（2025·惠州模拟）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴，
根据题意得，．
故选：B．
【分析】设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴，根据“每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴”列方程即可．
8．（2025·惠州模拟）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得，
整理得，
∵原方程无解，
∴当时，；
当时，此时，，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或2；
故选：D．
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可．本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2025·惠州模拟）如图，已知点在上，为的中点．若，，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图：
C为的中点，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查圆的性质及弧长公式，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．连接，由，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得，又为的中点．故，即知，再根据弧长公式l=计算即可．
10．（2025·惠州模拟）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，
，，
对称轴为直线
，，
故①正确；
，，
，
故
故②错误；
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为；
二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为；
时，；
将代入中，则
故③正确；
由函数图象可知，当当时，，故④正确；
故正确的个数为：个
故选：C
【分析】根据二次函数开口向上，所以，与轴交于负半轴，所以，根据对称轴为直线可得，所以①正确；，，所以，所以②错误；由对称性可以求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，把带入到中，即可得到，所以③正确；由函数图象可知，当时，的图像在x轴的下方，所以，故④正确．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025·惠州模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
12．（2025·惠州模拟）在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队8架舰载机的飞行训练次数如下（单位：次）：7，6，6，4，5，6，7，5，这组数据的众数是　 　.
【答案】6
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得，数据6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6.
故答案为：6.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
13．（2025·惠州模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．判别式大于0，方程有两个不同实数根，判别式等于0，方程有一个实数根，判别式小于零，方程没有实数根.
14．（2025·惠州模拟）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则　 　．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】由平行四边形的性质可知，，，继而可得，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长．
15．（2025·惠州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则　 　．
【答案】72
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；等腰三角形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：如图，作，垂足为，
，且，
，
由勾股定理得：，
轴，点的坐标为，
，，
点向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为，
平移后点、在反比例函数图象上，
，
解得：，
平移后点坐标为，
，
故答案为：．
【分析】本题主要对反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质，点的平移规律等知识进行考查．根据题意，作，垂足为，因为是等腰三角形，所以，，根据题意轴且点的坐标为，所以可得，，因为向下平移m个单位，所以坐标变为，点坐标变为，因为两点在反比例函数上，所以有，解得，所以k=72．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025·惠州模拟）解不等式组：
【答案】解：由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀“大小小大中间找”确定出公共部分，即可得出结果．
17．（2025·惠州模拟）如图，在中，，．完成以下两个小题的解答：
（1）用尺规作的中点，并以为半径作（不写作法，保留作图痕迹），求证：与边相切；
（2）若恰好交于边的中点，求的半径长．
【答案】（1）解：如图，点D和即为所求；
证明：∵，为的中点，
∴，
∵为的半径，
∴与边相切；
（2）解：设边的中点为点E，的半径为r，∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-中线
【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，尺规作图，勾股定理等知识点．（1）根据题意，作的平分线交于点D，以为半径作，根据，且AD为斜边中线，所以有，进一步可证与边相切；
（2）根据题意设边的中点为点E，的半径为r，所以有，在中，根据勾股定理有，解得．
（1）解：如图，点D和即为所求；
证明：∵，为的中点，
∴，
∵为的半径，
∴与边相切；
（2）解：设边的中点为点E，的半径为r，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为．
18．（2025·惠州模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点A作于点F，如图所示：
∴△ABF为直角三角形，∠BFA=90°，
∵在中，米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作于点G，如图所示：
由题意得：四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，
∴，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，DG=3米，
∴（米），
在中，AB=5米，∠BAF=16°，
∴（米），
∴（米）．
故遮阳蓬靠墙端离地高BC的长为4.4米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点F，在中解直角三角形，即可求出的长；
（2）过点A作于点G，可得四边形AFCG是矩形，△ADG是直角三角形，∠AGD=90°，利用矩形的性质得，（米），分别在Rt△ACD和Rt△ABF中解直角三角形，求得FC和BF的长，由BF+CF，即可得到结论.
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025·惠州模拟）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要对一次函数的应用进行考查．
（1）根据题干表格信息进行描点；
（2）根据描点走势可以看出随着的增大而增大，根据待定系数法设函数，将点代入解得：，所以函数解析式为；
（3）将代入解得；
（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
20．（2025·惠州模拟）某中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛；B-国画竞技；C-诗歌朗诵；D-汉字大赛；E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
“我最喜欢的活动”条形统计图 “我最喜欢的活动”扇形统计图
（1）此次随机抽取的初三学生共________人，________，并补全条形统计图；
（2）若该校共有3000名学生，请估计选D活动的学生人数；
（3）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．
【答案】（1）100，10，
条形图如下：
（2）解：（人）
答：估计选D活动的学生人数有600人．
（3）解：树状图如下：
有20种可能等结果，其中符合条件的有12种，
选出的两名选手正好是一男一女的概率是：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据扇形统计图可知，选A的学生所占百分比为：，
则抽取的学生总数为：人，
选择E的学生所占百分比为：，
选择B的学生人数为：人，
故答案为100，10；
【分析】（1）计算出选A的学生所占百分比，再用选A的学生的人数除以所占百分比即可得到抽取的学生总数，再求出选择E的学生所占百分比，求出选择B的学生人数，补全统计图即可；
（2）利用总人数乘以选D活动的学生人数的百分比即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出选出的两名选手正好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2025·惠州模拟）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍．
（1）求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？
（2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？
【答案】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据题意有：，
解得：
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意有：，
解得：，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设每株甲种树苗的进价为x元，所以乙种树苗进价为元，根据题意列分式方程为解得，所以每株甲种树苗进价为5元，乙种树苗的进价为8元．
（2）设购买乙种树苗m棵，则甲种树苗为棵，列的不等式方程，解得，所以应买乙种树苗60棵．甲种树苗40棵．
（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，
根据题意有：，
解得：
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，
根据题意有：，
解得：，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025·惠州模拟）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标．
（2）作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值．
（3）如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值．
【答案】（1）
（2）解：如图：
∵点F是直线与抛物线的交点，
∴
当时，
则，
∴
∵，
∴
解得 (舍去)或
当时，
过点作轴于点T
∵
∴
又，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
解得 (舍去)或
综上所述，t的值为4或3
（3）解：由点C的坐标为，
∵
∴对称轴
∵过点C作轴，交抛物线于点G
∴点G的坐标为
如图：
画出直线，
通过平移直线，得到直线
①发现当直线经过点G时，
直线与新图象只有2个公共点．
将点代入，
得
解得；
②当直线与抛物线只有一个公共点时，
直线与新图象只有2个公共点．
令
化简得
∴
解得
综上所述，n的值为1或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
∴令，
∴
结合图象，得出
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数的解析式，以及与轴的交点，计算即可作答．
（2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
（3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答．
（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
∴令，
∴
结合图象，得出
（2）解：如图：
∵点F是直线与抛物线的交点，
∴
当时，
则，
∴
∵，
∴
解得 (舍去)或
当时，
过点作轴于点T
∵
∴
又，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
解得 (舍去)或
综上所述，t的值为4或3
（3）解：由点C的坐标为，
∵
∴对称轴
∵过点C作轴，交抛物线于点G
∴点G的坐标为
如图：
画出直线，
通过平移直线，得到直线
①发现当直线经过点G时，
直线与新图象只有2个公共点．
将点代入，
得
解得；
②当直线与抛物线只有一个公共点时，
直线与新图象只有2个公共点．
令
化简得
∴
解得
综上所述，n的值为1或
23．（2025·惠州模拟）如图，已知正方形，，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转，．
（1）求点D与点E之间的最大距离；
（2）当最大时，连接，求的面积；
（3）在旋转过程中，线段与线段存在交点G，连接，若M是的中点，P是线段上的一个动点，当的值最小时，求的值．
【答案】（1）（1）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段的延长线上时，有最大值，
点与点之间的最大距离为；
（2）（2）解：如图，过点作于，过点作直线于，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，最大，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
（3）（3）解：如图，连接，过点作于，
，
，
又，，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
的等腰直角三角形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
点在以的直径的圆上，
当点与点重合时，有最小值，
如图，过点作于，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
又是的中点，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可求的长，由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求解；
（2）当与相切时，最大，由勾股定理可求的长，锐角三角函数可求的长，由“ “可证，可得，由三角形的面积公式可求解；
（3）由“”可证，可得，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由等腰直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，当点与点重合时，有最小值，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由平行线分线段成比例可求解．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段的延长线上时，有最大值，
点与点之间的最大距离为；
（2）解：如图，过点作于，过点作直线于，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当与相切时，最大，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于，
，
，
又，，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
的等腰直角三角形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
点在以的直径的圆上，
当点与点重合时，有最小值，
如图，过点作于，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
又是的中点，
，
．
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