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广东省肇庆市四会市2024-2025学年下学期义务教育教学质量检测九年级数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·四会模拟）在，，，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴在，，，这四个数中，最小的数是，
故选：．
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．根据“负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
2．（2025·四会模拟） 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行蠡蠡（da），欣欣家国”为主题，以“益”字为题眼，用“兢兢”之姿生动描摹1400000000中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌． 其中数字1400000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】将一个大于10的数表示为的形式，这样的记数方法称为科学记数法.
3．（2025·四会模拟）中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，C项即是轴对称图形又是中心对称图形.
4．（2025·四会模拟）某校5位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88．这组数据的中位数是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．95
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，
所以这组数据的中位数为90分，
故答案为：C．
【分析】利用中位数的定义及计算方法求解即可。
5．（2025·四会模拟）要使分式有意义，x的取值范围满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，即，
故选：A．
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不为零，计算解答即可．
6．（2025·四会模拟）端午节吃粽子是中华民族的传统习惯，妈妈买了只红豆粽、只碱水粽、只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵共有4只红豆粽、2只碱水粽、5只干肉粽，∴共有4+2+5=11只粽子，
∴吃到红豆粽的概率=．
故选C．
【分析】
先求出粽子的总数4+2+5=11，符合条件的红豆粽有4个，根据概率公式解答即可．本题考查的是概率公式，熟知事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数商是解答此题的关键．
7．（2025·四会模拟）如图，点A、B、C在上，，则（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】所求角∠A是一个圆周角，可从圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角一半入手，在△OBC中，∠OBC=18°，由等边对等角可得∠OCB=18°，再由三角形内角和求得∠BOC=144°，最后由圆周角定理求得∠A=72°.
8．（2025·四会模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以，故A项错误；
B.积的乘方等于积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，所以，故B项正确；
C.同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，故C项错误；
D.与不是同类项，不能进行加法运算，故D项错误.
故答案为：B
【分析】本题考查了整式的各种那个运算，能够熟练掌握同底数幂乘、除法，积的乘方以及合并同类项法则是解题的关键.
9．（2025·四会模拟）如图，⊙O被抛物线y=x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（　　）．
A．2 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标位，y=，x2=2，∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2，在Rt△OCB中，BC=2，OC=2，由勾股定理的，OB=2
故选B．
【分析】由二次函数的对称性可知CA=CB，所以B点的横坐标为2，带入抛物线中求得B（2，2），在Rt△OCB中，利用勾股定理求出OB即可．
10．（2025·四会模拟）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（　　）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；解直角三角形；动点问题的函数图象；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【分析】由图像知，点P第一次运动时，PB=PC，所以点P是在线段BC的垂直平分线上运动，且 ，再由三线合一的性质可知 ；由图可知，点P第二次运动的路程为-=，即OB=，所以△OAB是等腰三角形，接下来过点O向AB边作垂线，垂足为点D，则在Rt△OAD中，，所以AB=2AD=6，即△ABC的边长为6.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025·四会模拟）8的立方根是　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．（2025·四会模拟）若反比例函数的图象经过点，则的值为　 　.
【答案】12
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，因为反比例函数的图象经过点，所以把x=-2，y=-6代入解析式中得到关于的方程，解这个方程，即可求得k的值.
13．（2025·四会模拟）若，则的值是　 　.
【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
故答案为：8.
【分析】该题主要考查了代数式求值，解题的关键是对已知条件进行化简．先移项得到，观察原式可知，整体代入求值即可.
14．（2025·四会模拟）如图为某椅子的侧面图，．与地面平行，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 本题要求∠ACB的度数，题干中给出了两个角的度数， ，由平行的性质可知∠D=50°，由三角形外交的性质可得，所以，所以它的对顶角∠ACB=70°.
15．（2025·四会模拟）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
由题意可知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
则阴影部分的面积是
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，由题意可知，，所以是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，扇形面积公式为S=再根据阴影部分的面积等于求解即可得．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．（2025·四会模拟）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
17．（2025·四会模拟）先化简，再求值： ，其中a＝ ．
【答案】解：原式=
把a＝ 代入原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-1代入进行计算即可
18．（2025·四会模拟）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）的条件下，连接，证明：四边形为菱形
【答案】（1）解：如图：
（2）证明：如图：连接，，
垂直平分，
，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
，
，
四边形为菱形
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，连接两弧交点即可；
（2）连接，，证，可得AE=CF，四边相等的四边形是菱形；本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．证是解题的关键．
（1）解：如图：
（2）证明：如图：连接，，
垂直平分，
，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
，
，
四边形为菱形；
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．（2025·四会模拟）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）解：设书架上数学书有本，
由题意得：，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）解：设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设书架上数学书有本，根据图形列出方程，再求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式，再求解即可.
（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
20．（2025·四会模拟）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机从地面垂直上升，至距地面的点处测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机向教学楼方向（、、在同一平面内）水平飞行了至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度．（精确到，参考数据：，，）
【答案】解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题主要对解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题进行考查，根据题意延长交直线于点H，则，在中根据正切，求得，所以有，根据对三个内角计算，可知，为等腰直角三角形，所以，进而有。
21．（2025·四会模拟）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人；
（2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度；
（3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
【答案】（1）40
（2），
（3）设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：
共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种，
所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）（人），
故答案为：，
（2），．
故答案为：，；
【分析】
本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率；
（1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数=12÷30%；
（2）m=等级的频数除以总人数；圆心角度数=°乘以等级所占的比例即可；
（3）树状图表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．（2025·四会模拟）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
图1 图2 图3
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，
由题意得，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）猜想：证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意得，∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点F是中点；
②过点F作交于点M，连接，
∵，
∴，
设，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得，，
解得：或（舍，此时） ，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴点M为中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理等知识点进行考查。（1）根据题意有，进而得到，又因为，所以，所以；
（2）因为，，所以，因为，所以，进一步可得，因此，故；
（3）①由图像翻折可得，ton过付角的计算可得，所以，因此，即点F是中点；
②过点F作交于点M，连接，因为，所以设，，因此，由翻折得，故，因此，在中，根据勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故．
（1）证明：如图，
由题意得，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）猜想：
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点F是中点；
②过点F作交于点M，连接，
∵，
∴，
设，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得，，
解得：或（舍，此时） ，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴点M为中点，
∴，
∴．
23．（2025·四会模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
1 / 1广东省肇庆市四会市2024-2025学年下学期义务教育教学质量检测九年级数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·四会模拟）在，，，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·四会模拟） 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行蠡蠡（da），欣欣家国”为主题，以“益”字为题眼，用“兢兢”之姿生动描摹1400000000中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌． 其中数字1400000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·四会模拟）中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·四会模拟）某校5位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88．这组数据的中位数是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．95
5．（2025·四会模拟）要使分式有意义，x的取值范围满足（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四会模拟）端午节吃粽子是中华民族的传统习惯，妈妈买了只红豆粽、只碱水粽、只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四会模拟）如图，点A、B、C在上，，则（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
8．（2025·四会模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·四会模拟）如图，⊙O被抛物线y=x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（　　）．
A．2 B．2 C． D．4
10．（2025·四会模拟）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（　　）
A．6 B．3 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025·四会模拟）8的立方根是　 　．
12．（2025·四会模拟）若反比例函数的图象经过点，则的值为　 　.
13．（2025·四会模拟）若，则的值是　 　.
14．（2025·四会模拟）如图为某椅子的侧面图，．与地面平行，，则　 　．
15．（2025·四会模拟）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．（2025·四会模拟）解不等式组：．
17．（2025·四会模拟）先化简，再求值： ，其中a＝ ．
18．（2025·四会模拟）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）的条件下，连接，证明：四边形为菱形
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．（2025·四会模拟）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
20．（2025·四会模拟）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机从地面垂直上升，至距地面的点处测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机向教学楼方向（、、在同一平面内）水平飞行了至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度．（精确到，参考数据：，，）
21．（2025·四会模拟）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人；
（2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度；
（3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．（2025·四会模拟）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
图1 图2 图3
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求的面积．
23．（2025·四会模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴在，，，这四个数中，最小的数是，
故选：．
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．根据“负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】将一个大于10的数表示为的形式，这样的记数方法称为科学记数法.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，C项即是轴对称图形又是中心对称图形.
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，
所以这组数据的中位数为90分，
故答案为：C．
【分析】利用中位数的定义及计算方法求解即可。
5．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，即，
故选：A．
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不为零，计算解答即可．
6．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵共有4只红豆粽、2只碱水粽、5只干肉粽，∴共有4+2+5=11只粽子，
∴吃到红豆粽的概率=．
故选C．
【分析】
先求出粽子的总数4+2+5=11，符合条件的红豆粽有4个，根据概率公式解答即可．本题考查的是概率公式，熟知事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数商是解答此题的关键．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】所求角∠A是一个圆周角，可从圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角一半入手，在△OBC中，∠OBC=18°，由等边对等角可得∠OCB=18°，再由三角形内角和求得∠BOC=144°，最后由圆周角定理求得∠A=72°.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以，故A项错误；
B.积的乘方等于积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，所以，故B项正确；
C.同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，故C项错误；
D.与不是同类项，不能进行加法运算，故D项错误.
故答案为：B
【分析】本题考查了整式的各种那个运算，能够熟练掌握同底数幂乘、除法，积的乘方以及合并同类项法则是解题的关键.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标位，y=，x2=2，∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2，在Rt△OCB中，BC=2，OC=2，由勾股定理的，OB=2
故选B．
【分析】由二次函数的对称性可知CA=CB，所以B点的横坐标为2，带入抛物线中求得B（2，2），在Rt△OCB中，利用勾股定理求出OB即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；解直角三角形；动点问题的函数图象；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【分析】由图像知，点P第一次运动时，PB=PC，所以点P是在线段BC的垂直平分线上运动，且 ，再由三线合一的性质可知 ；由图可知，点P第二次运动的路程为-=，即OB=，所以△OAB是等腰三角形，接下来过点O向AB边作垂线，垂足为点D，则在Rt△OAD中，，所以AB=2AD=6，即△ABC的边长为6.
11．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．【答案】12
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，因为反比例函数的图象经过点，所以把x=-2，y=-6代入解析式中得到关于的方程，解这个方程，即可求得k的值.
13．【答案】8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
故答案为：8.
【分析】该题主要考查了代数式求值，解题的关键是对已知条件进行化简．先移项得到，观察原式可知，整体代入求值即可.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 本题要求∠ACB的度数，题干中给出了两个角的度数， ，由平行的性质可知∠D=50°，由三角形外交的性质可得，所以，所以它的对顶角∠ACB=70°.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
由题意可知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
则阴影部分的面积是
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，由题意可知，，所以是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，扇形面积公式为S=再根据阴影部分的面积等于求解即可得．
16．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
17．【答案】解：原式=
把a＝ 代入原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-1代入进行计算即可
18．【答案】（1）解：如图：
（2）证明：如图：连接，，
垂直平分，
，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
，
，
四边形为菱形
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，连接两弧交点即可；
（2）连接，，证，可得AE=CF，四边相等的四边形是菱形；本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．证是解题的关键．
（1）解：如图：
（2）证明：如图：连接，，
垂直平分，
，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
，
，
四边形为菱形；
19．【答案】（1）解：设书架上数学书有本，
由题意得：，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）解：设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设书架上数学书有本，根据图形列出方程，再求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式，再求解即可.
（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
20．【答案】解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题主要对解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题进行考查，根据题意延长交直线于点H，则，在中根据正切，求得，所以有，根据对三个内角计算，可知，为等腰直角三角形，所以，进而有。
21．【答案】（1）40
（2），
（3）设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：
共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种，
所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）（人），
故答案为：，
（2），．
故答案为：，；
【分析】
本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率；
（1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数=12÷30%；
（2）m=等级的频数除以总人数；圆心角度数=°乘以等级所占的比例即可；
（3）树状图表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
22．【答案】（1）证明：如图，
由题意得，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）猜想：证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意得，∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点F是中点；
②过点F作交于点M，连接，
∵，
∴，
设，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得，，
解得：或（舍，此时） ，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴点M为中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理等知识点进行考查。（1）根据题意有，进而得到，又因为，所以，所以；
（2）因为，，所以，因为，所以，进一步可得，因此，故；
（3）①由图像翻折可得，ton过付角的计算可得，所以，因此，即点F是中点；
②过点F作交于点M，连接，因为，所以设，，因此，由翻折得，故，因此，在中，根据勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故．
（1）证明：如图，
由题意得，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）猜想：
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点F是中点；
②过点F作交于点M，连接，
∵，
∴，
设，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得，，
解得：或（舍，此时） ，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴点M为中点，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
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