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广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·广东开学考）能正确表示图中阴影部分的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·广东开学考）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．2
3．（2024高三上·广东开学考）已知向量，且，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．（2024高三上·广东开学考）石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（　　）
A．42 B．120 C．168 D．210
5．（2024高三上·广东开学考）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·广东开学考）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（　　）
A．14种 B．18种 C．12种 D．7种
7．（2024高三上·广东开学考）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·广东开学考）在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·广东开学考）已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（　　）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为
D．有理项共有5项
10．（2024高三上·广东开学考）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为3
11．（2024高三上·广东开学考）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·广东开学考）甲 乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为　 　.
13．（2024高三上·广东开学考）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为　 　．
14．（2024高三上·广东开学考）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为　 　米
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·广东开学考）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值；
（3）求关于的方程在上的最大根与最小根之和.
16．（2024高三上·广东开学考）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.
（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；
（2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
参考数据：，.
17．（2024高三上·广东开学考）如图，在四棱锥中，为的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，．
（i）求证：平面；
（ii）设平面平面，求二面角的正弦值．
18．（2024高三上·广东开学考）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
（1）若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率；
（2）若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.
19．（2024高三上·广东开学考）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，
所以，能正确表示图中阴影部分的是.
故答案为：A.
【分析】由集合的交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，再结合图中所给的阴影部分，从而找出正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，得，，
所以，.
故答案为：B.
【分析】由复数的除法运算得出复数，再结合复数的模长公式得出复数z的模.
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，
又因为，，
所以，
所以，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律以及数量积为0两向量垂直的等价关系，从而化简得出，再利用数量积的坐标表示，从而得出实数的值.
4．【答案】C
【知识点】数列的应用；归纳推理
【解析】【解答】解：记“第n圆环”最外层的碳原子个数为，
依题意，，
，
由此，可以归纳出，
“第二圆环”上的碳原子个数为，“第三圆环”上的碳原子个数为，
由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为，
所以“第七圆环”的碳原子个数为.
故答案为：C.
【分析】根据题意发现其规律，再利用归纳推理的方法， 从而得出“第七圆环”上的碳原子数.
5．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：由题意可知：圆的圆心为，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，
若圆与圆外切，
则，，
可得；
若圆与圆内切，
则，，
可得，
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，
则，
所以动点P的轨迹方程为.
故答案为：B.
【分析】分两圆外切和内切两种情况，再根据两圆位置关系判断方法和双曲线的定义，从而得出动点P的轨迹方程.
6．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，
分别做调料师和营养师，共有20（种），
没有女厨师被选中的选法共有（种），
所以，至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和排列数公式、组合数公式，先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，再利用两个选法数相减，从而可得至少有1名女厨师被选中的方法数.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
因为直线与以为圆心、为半径的圆切，
所以，
因此由勾股定理可知，
又因为，所以，
因此，
由勾股定理，可得，
根据椭圆定义，则，.
故答案为：B.
【分析】先根据直线与圆相切位置关系判断方法，利用勾股定理求出的长度，再通过可得的长度，根据用勾股定理求出的长度，最后结合点为椭圆上一点结合椭圆的定义和椭圆离心率公式，从而得出椭圆的离心率.
8．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图，取中心中点连接，使得，
由题意，可知，，，且，，均为锐角，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，
故，
因此，，
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据线线角的定义，线面角的定义和二面角的定义，从而可得，，，再利用三角形的边角关系和三角函数的定义以及正切函数的单调性，从而找出三个角的正确关系.
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式共有13项，则；
A、所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；
B、二项式展开式有13项，则二项式系数最大的项为第7项，故B正确；
C、令，则所有项的系数和为，故C错误；
D、展开式的通项为，
当为整数时，即，共有5项，即有理项共有5项，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意先求，再根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐项判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【解答】解：因为，
故A正确；
由，
所以，
又因为三点共线，
，
则，故B错误；
由为正实数，，得，
当且仅当时等号成立，故C错误；
因为当且仅当时等号成立，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】根据平面向量基本定理结合三点共线的向量性质、基本不等式求最值的方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，得，
因为，所以，故A错误；
对于B，令，得，
所以，
又因为的定义域是全体实数，
所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，得，所以，
因为，又因为的定义域是全体实数，
所以为奇函数，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，
所以4是的周期，
又因为，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】令，再结合已知条件进行验算，则判断出选项A；令，再结合已知条件和偶函数的定义，则可判断选项B；令，得，再结合奇函数的定义判断出选项C；先利用周期函数的定义说明4是的周期，再求出的值验算判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为，
甲队在一轮比赛中得分的概率为，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
设在这一轮中，满足且为事件，
则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，
所以，
即在这一轮中，满足且的概率为.
故答案为：
【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式（如果事件A和B相互独立， 则它们的概率乘积等于它们同时发生的概率， 即；互斥事件则是指两个事件不可能同时发生， 即它们没有共同的交集，如果事件A和B互斥， 则它们的并集的概率等于它们各自概率的和）计算可得.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算.
13．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，
由，得，
由题意，得，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设切点为，由题意得，再解方程组可得的值为-2.
14．【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，设抛物线方程为且，
根据题意，可知图中点坐标为，
所以，
可得，
所以抛物线方程为，
令，代入方程，解得，
可得到水面两点坐标分别为
所以，水面的宽度为米．
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线方程为，从而可得点A在抛物线上，再代入得出抛物线的方程，再令，从而得出x的值，进而得出水面两点坐标，最后友两点距离公式得出当水面下降时，水面的宽度．
15．【答案】（1）解：正三角形的高为，，
函数的周期，
所以．
（2）解：，
由（1）得：，
则，
由，知，
所以，
，
．
（3）解：，
当时，则，
设与（）
的图象交点的横坐标最小为，最大为，
令，
则或，
解得或，
当且仅当时，最小；
当且仅当时，最大，
则此方程在内所有最小根为1，最大根为，
所以，两个根之和为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据题中函数的部分图象和正弦型函数的最小正周期公式，从而得出的值.
（2）根据平方关系、角的取值范围得出，，再结合三角恒等变换得出的值.
（3）根据题意得出或，再结合的取值范围得出关于的方程在上的最大根与最小根，从而得出关于的方程在上的最大根与最小根之和.
（1）正三角形的高为，，
函数的周期，．
（2），由（1）有，
即，
而由，知，
所以，
．
．
（3），
当，，
设与（）的图象交点的横坐标最小为，最大为，
令，则或，
解得或，
则当且仅当时，最小，
当且仅当时，最大，
即此方程在内所有最小根为：1，最大根为．
两个之和为.
16．【答案】（1）解：记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为，
由题意可知，
数列为等比数列，首项，公比，
数列为等差数列，首项，公差，
所以，，
所以，今年2月份生产的不合格产品数为：，
设第月生产的不合格产品数为，
则，
所以，
当时，；
当时，；
当时，，
所以，
则5月或6月生产的不合格产品数最多.
（2）解：设今年前个月生产的合格产品总数为，
则，
因为，，
所以①，
②，
①－②得
，
所以，
则该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）记第月的产量为，第月的产品合格率为，利用等比数列的定义和等差数列的定义，从而判断出数列为等比数列、数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，最后判断第月生产的不合格产品数的增减性，从而得出生产的不合格产品的数量最多的月份.
（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，利用错位相减法得出，再结合近似计算的方法，从而估算出该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为.
由题可知，数列为等比数列，首项，公比，
数列为等差数列，首项，公差，
所以，，
所以今年2月份生产的不合格产品数为；
设第月生产的不合格产品数为，则，
所以，
当时，；当时，；当时，，
所以，
即5月或6月生产的不合格产品数最多；
（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则，
由于，，
所以①，
②，
①－②得
所以，
即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，
所以，，
又因为，
所以，
所以四点共面，
因为平面，平面平面，
平面，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以.
（2）（i）证明：取的中点，连接，
由（1）知，
所以，
因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以与全等，
所以，
则，
因为，
又因为，、平面，
所以平面.
（ii）解：由（i）知，平面，
因为平面，
所以，
又因为，
则建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
令，则，
所以，
因为为平面的法向量，
设二面角为，
由图可得
所以，
所以，二面角的余弦值为，
则二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中位线定理，从而得出线线平行，利用四点共面判断方法，则四点共面，再根据线面平行的性质定理得出线线平行，结合平行四边形的定义判断出四边形为平行四边形，则，从而证出.
（2）（i）利用已知条件和中点的性质以及（1）知，则，利用得出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的结构特征和中点的性质、线线垂直的判断方法、全等三角形的判断方法，从而得出，根据，则由线面垂直的判定定理，从而证出平面.
（ⅱ）结合已知条件建立适当的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，再利用为平面的法向量，则由数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，，
因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；
（2）（i）取的中点，连接，
由（1）知，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以与全等，
所以，即，
因为，
又因为，、平面，
所以平面；
（ii）由（i）知平面，而平面，
所以，
因为，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的法向量为， 则
令，则，于是，
因为为平面的法向量，
设二面角为，由图可得
所以，
所以二面角的余弦值为，
则二面角的正弦值为
18．【答案】（1）解：由题意，可得共有（种）不同的抽法，
抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，
标号为2，3的种数有，抽到1，2，3的种数有，
合计（种）不同的抽法，
所以，抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为：.
（2）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4，
则
，
，
，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算出总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法，最后由古典概率公式得出抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率.
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出随机变量X的分布列.
（1）由题意可得共有（种）不同的抽法，
抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，
标号为2，3的种数有，抽到1，2，3的种数有，
合计（种）不同的抽法，
所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为.
（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
所以的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
19．【答案】（1）解：若抛物线的焦点在轴上时，
可设抛物线的方程为，且抛物线过点，
所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，
可设抛物线的方程为，且抛物线过点，
所以，解得，
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）解：①因为抛物线不经过第二象限，
由（1）可知，抛物线的方程为，且，，
①当经过抛物线的焦点时，
令，得，
在中，令，得，
因为，所以，可得直线，
由，
解得或，则，
所以，直线，即.
②设直线，，，
由，
消去整理得，
所以，，，
且，
则，
则直线，
令，
得
所以，直线经过定点，
所以，当，则点A以直线的距离取得最大值，为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）分类讨论抛物线的焦点所在位置，再结合抛物线的标准方程和代入法，从而得出抛物线的标准方程.
（2）根据题意可得.
①当经过抛物线的焦点时，令，得，利用赋值法和，则得出，从而得出直线，再将直线方程与抛物线方程联立得出点的坐标，最后由两点式方程得出直线NP的方程.
②联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理和赋值法，从而证出直线经过定点.
（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，
且，，
①当经过抛物线的焦点时，令，得，
在中，令，得，
又因为，则，可得直线，
由，解得或，即，
所以直线，即；
②设，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
则，
令，得
，
所以直线经过定点，
所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.
1 / 1广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·广东开学考）能正确表示图中阴影部分的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，
所以，能正确表示图中阴影部分的是.
故答案为：A.
【分析】由集合的交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，再结合图中所给的阴影部分，从而找出正确的选项.
2．（2024高三上·广东开学考）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，得，，
所以，.
故答案为：B.
【分析】由复数的除法运算得出复数，再结合复数的模长公式得出复数z的模.
3．（2024高三上·广东开学考）已知向量，且，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，
又因为，，
所以，
所以，
解得.
故答案为：D.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律以及数量积为0两向量垂直的等价关系，从而化简得出，再利用数量积的坐标表示，从而得出实数的值.
4．（2024高三上·广东开学考）石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（　　）
A．42 B．120 C．168 D．210
【答案】C
【知识点】数列的应用；归纳推理
【解析】【解答】解：记“第n圆环”最外层的碳原子个数为，
依题意，，
，
由此，可以归纳出，
“第二圆环”上的碳原子个数为，“第三圆环”上的碳原子个数为，
由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为，
所以“第七圆环”的碳原子个数为.
故答案为：C.
【分析】根据题意发现其规律，再利用归纳推理的方法， 从而得出“第七圆环”上的碳原子数.
5．（2024高三上·广东开学考）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：由题意可知：圆的圆心为，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，
若圆与圆外切，
则，，
可得；
若圆与圆内切，
则，，
可得，
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，
则，
所以动点P的轨迹方程为.
故答案为：B.
【分析】分两圆外切和内切两种情况，再根据两圆位置关系判断方法和双曲线的定义，从而得出动点P的轨迹方程.
6．（2024高三上·广东开学考）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（　　）
A．14种 B．18种 C．12种 D．7种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，
分别做调料师和营养师，共有20（种），
没有女厨师被选中的选法共有（种），
所以，至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和排列数公式、组合数公式，先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，再利用两个选法数相减，从而可得至少有1名女厨师被选中的方法数.
7．（2024高三上·广东开学考）设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
因为直线与以为圆心、为半径的圆切，
所以，
因此由勾股定理可知，
又因为，所以，
因此，
由勾股定理，可得，
根据椭圆定义，则，.
故答案为：B.
【分析】先根据直线与圆相切位置关系判断方法，利用勾股定理求出的长度，再通过可得的长度，根据用勾股定理求出的长度，最后结合点为椭圆上一点结合椭圆的定义和椭圆离心率公式，从而得出椭圆的离心率.
8．（2024高三上·广东开学考）在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图，取中心中点连接，使得，
由题意，可知，，，且，，均为锐角，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，
故，
因此，，
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据线线角的定义，线面角的定义和二面角的定义，从而可得，，，再利用三角形的边角关系和三角函数的定义以及正切函数的单调性，从而找出三个角的正确关系.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·广东开学考）已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（　　）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为
D．有理项共有5项
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式共有13项，则；
A、所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；
B、二项式展开式有13项，则二项式系数最大的项为第7项，故B正确；
C、令，则所有项的系数和为，故C错误；
D、展开式的通项为，
当为整数时，即，共有5项，即有理项共有5项，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意先求，再根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐项判断即可.
10．（2024高三上·广东开学考）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为3
【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【解答】解：因为，
故A正确；
由，
所以，
又因为三点共线，
，
则，故B错误；
由为正实数，，得，
当且仅当时等号成立，故C错误；
因为当且仅当时等号成立，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】根据平面向量基本定理结合三点共线的向量性质、基本不等式求最值的方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
11．（2024高三上·广东开学考）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，得，
因为，所以，故A错误；
对于B，令，得，
所以，
又因为的定义域是全体实数，
所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，得，所以，
因为，又因为的定义域是全体实数，
所以为奇函数，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，
所以4是的周期，
又因为，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】令，再结合已知条件进行验算，则判断出选项A；令，再结合已知条件和偶函数的定义，则可判断选项B；令，得，再结合奇函数的定义判断出选项C；先利用周期函数的定义说明4是的周期，再求出的值验算判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·广东开学考）甲 乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为，
甲队在一轮比赛中得分的概率为，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
乙队在一轮比赛中得分的概率为：
，
设在这一轮中，满足且为事件，
则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，
所以，
即在这一轮中，满足且的概率为.
故答案为：
【分析】首先求出甲在一轮比赛中得分、分的概率，乙在一轮比赛中得分、分的概率，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式（如果事件A和B相互独立， 则它们的概率乘积等于它们同时发生的概率， 即；互斥事件则是指两个事件不可能同时发生， 即它们没有共同的交集，如果事件A和B互斥， 则它们的并集的概率等于它们各自概率的和）计算可得.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算.
13．（2024高三上·广东开学考）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为　 　．
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，
由，得，
由题意，得，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设切点为，由题意得，再解方程组可得的值为-2.
14．（2024高三上·广东开学考）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为　 　米
【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，设抛物线方程为且，
根据题意，可知图中点坐标为，
所以，
可得，
所以抛物线方程为，
令，代入方程，解得，
可得到水面两点坐标分别为
所以，水面的宽度为米．
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线方程为，从而可得点A在抛物线上，再代入得出抛物线的方程，再令，从而得出x的值，进而得出水面两点坐标，最后友两点距离公式得出当水面下降时，水面的宽度．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·广东开学考）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值；
（3）求关于的方程在上的最大根与最小根之和.
【答案】（1）解：正三角形的高为，，
函数的周期，
所以．
（2）解：，
由（1）得：，
则，
由，知，
所以，
，
．
（3）解：，
当时，则，
设与（）
的图象交点的横坐标最小为，最大为，
令，
则或，
解得或，
当且仅当时，最小；
当且仅当时，最大，
则此方程在内所有最小根为1，最大根为，
所以，两个根之和为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据题中函数的部分图象和正弦型函数的最小正周期公式，从而得出的值.
（2）根据平方关系、角的取值范围得出，，再结合三角恒等变换得出的值.
（3）根据题意得出或，再结合的取值范围得出关于的方程在上的最大根与最小根，从而得出关于的方程在上的最大根与最小根之和.
（1）正三角形的高为，，
函数的周期，．
（2），由（1）有，
即，
而由，知，
所以，
．
．
（3），
当，，
设与（）的图象交点的横坐标最小为，最大为，
令，则或，
解得或，
则当且仅当时，最小，
当且仅当时，最大，
即此方程在内所有最小根为：1，最大根为．
两个之和为.
16．（2024高三上·广东开学考）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.
（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；
（2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
参考数据：，.
【答案】（1）解：记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为，
由题意可知，
数列为等比数列，首项，公比，
数列为等差数列，首项，公差，
所以，，
所以，今年2月份生产的不合格产品数为：，
设第月生产的不合格产品数为，
则，
所以，
当时，；
当时，；
当时，，
所以，
则5月或6月生产的不合格产品数最多.
（2）解：设今年前个月生产的合格产品总数为，
则，
因为，，
所以①，
②，
①－②得
，
所以，
则该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）记第月的产量为，第月的产品合格率为，利用等比数列的定义和等差数列的定义，从而判断出数列为等比数列、数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，最后判断第月生产的不合格产品数的增减性，从而得出生产的不合格产品的数量最多的月份.
（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，利用错位相减法得出，再结合近似计算的方法，从而估算出该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为.
由题可知，数列为等比数列，首项，公比，
数列为等差数列，首项，公差，
所以，，
所以今年2月份生产的不合格产品数为；
设第月生产的不合格产品数为，则，
所以，
当时，；当时，；当时，，
所以，
即5月或6月生产的不合格产品数最多；
（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则，
由于，，
所以①，
②，
①－②得
所以，
即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.
17．（2024高三上·广东开学考）如图，在四棱锥中，为的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，．
（i）求证：平面；
（ii）设平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，
所以，，
又因为，
所以，
所以四点共面，
因为平面，平面平面，
平面，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以.
（2）（i）证明：取的中点，连接，
由（1）知，
所以，
因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以与全等，
所以，
则，
因为，
又因为，、平面，
所以平面.
（ii）解：由（i）知，平面，
因为平面，
所以，
又因为，
则建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
令，则，
所以，
因为为平面的法向量，
设二面角为，
由图可得
所以，
所以，二面角的余弦值为，
则二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中位线定理，从而得出线线平行，利用四点共面判断方法，则四点共面，再根据线面平行的性质定理得出线线平行，结合平行四边形的定义判断出四边形为平行四边形，则，从而证出.
（2）（i）利用已知条件和中点的性质以及（1）知，则，利用得出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的结构特征和中点的性质、线线垂直的判断方法、全等三角形的判断方法，从而得出，根据，则由线面垂直的判定定理，从而证出平面.
（ⅱ）结合已知条件建立适当的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，再利用为平面的法向量，则由数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，，
因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面平面，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；
（2）（i）取的中点，连接，
由（1）知，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以与全等，
所以，即，
因为，
又因为，、平面，
所以平面；
（ii）由（i）知平面，而平面，
所以，
因为，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的法向量为， 则
令，则，于是，
因为为平面的法向量，
设二面角为，由图可得
所以，
所以二面角的余弦值为，
则二面角的正弦值为
18．（2024高三上·广东开学考）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
（1）若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率；
（2）若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.
【答案】（1）解：由题意，可得共有（种）不同的抽法，
抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，
标号为2，3的种数有，抽到1，2，3的种数有，
合计（种）不同的抽法，
所以，抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为：.
（2）解：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4，
则
，
，
，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算出总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法，最后由古典概率公式得出抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率.
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出随机变量X的分布列.
（1）由题意可得共有（种）不同的抽法，
抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，
标号为2，3的种数有，抽到1，2，3的种数有，
合计（种）不同的抽法，
所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为.
（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
所以的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
19．（2024高三上·广东开学考）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
【答案】（1）解：若抛物线的焦点在轴上时，
可设抛物线的方程为，且抛物线过点，
所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，
可设抛物线的方程为，且抛物线过点，
所以，解得，
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）解：①因为抛物线不经过第二象限，
由（1）可知，抛物线的方程为，且，，
①当经过抛物线的焦点时，
令，得，
在中，令，得，
因为，所以，可得直线，
由，
解得或，则，
所以，直线，即.
②设直线，，，
由，
消去整理得，
所以，，，
且，
则，
则直线，
令，
得
所以，直线经过定点，
所以，当，则点A以直线的距离取得最大值，为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）分类讨论抛物线的焦点所在位置，再结合抛物线的标准方程和代入法，从而得出抛物线的标准方程.
（2）根据题意可得.
①当经过抛物线的焦点时，令，得，利用赋值法和，则得出，从而得出直线，再将直线方程与抛物线方程联立得出点的坐标，最后由两点式方程得出直线NP的方程.
②联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理和赋值法，从而证出直线经过定点.
（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，
且，，
①当经过抛物线的焦点时，令，得，
在中，令，得，
又因为，则，可得直线，
由，解得或，即，
所以直线，即；
②设，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
则，
令，得
，
所以直线经过定点，
所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.
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