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四川省资阳市资阳市雁江区五校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．0 C．6 D．6或
4．如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．2022年冬季奥运会在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（单位：秒） 52 m 53 49
方差（单位：秒） n
根据表中数据，可以判断乙是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，、的平分线分别与相交于点E、F，相交于点G．若，，，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
9．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．数据2，4，6，x，3，9的众数为3，则这组数据的中位数为 ．
13．如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为 度．
14．关于x的方程的解不小于1，则 m 的取值范围为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，四边形为正方形，点C的坐标是，点A的坐标是，若直线l把平行四边形与正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是 ．
16．如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
18．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）这20条鱼质量的中位数是　 　，众数是　 　．
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

19．如图，矩形的对角线， 相交于点O，且， ．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的面积．
20．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘．
21．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
22．某商店准备购进两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠（）元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
23．如图，中，一动点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图2，在（1）问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点F，连结，若，到的距离为，求的面积．
(3)如图3，另一动点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
24．如图1，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，直线y = -x + 3经过顶点 B，与y轴交于顶点C，AB // OC．
(1)求顶点B的坐标.
(2)如 图2，直线 L 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O′为点 O 关于直线L的对称点,联 结 CO′，并延长交直线AB于第一象限的点 D，当CD=5 时，求直线 L的解析式；
(3)在(2)条件下，点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能,请直接写出点P坐标；若不能，说明理由.

参考答案
1．B
分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
2．B
解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
3．A
解：分式的值为0，
故且，
解得，
故选：A．
4．C
解：四边形是矩形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
5．D
解：对比四个选项的平均数可得：，平均数越小，成绩越好，因此；
对比四个选项的方差可得：，方差越小，发挥越稳定，因此；
故则m，n的值可以是，；
故选：D．
6．B
解：如图，连接，
∵在矩形中， ，，且，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．C
解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3，
∴BC=AD=2，AB=DC=5，
∵AE=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
①点P在BE上时，，
∴y=x（0＜x≤2），
②点P在BC上时，
S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP
，
；
③点P在DC上时，△DPE的面积，
故选C．
8．D
解：∵平分，
∴，
∵，，，
∴,
∴，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点E作，交的延长线于点P，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
解：设，
∵直线轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上，
∴当，，
即A点坐标为，
又∵点B在反比例函数的图象上，
∴当，，
即B点坐标为，
∴，
∴．
故选：A．
10．A
解：①∵
∴△OBD是等腰三角形
∵四边形是矩形
∴DE=BE=BD，DA⊥OB
∴平分，OE⊥BD故①正确；
②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB
∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90°
∵∠EDF=∠AOF
∵DA⊥OB，
∴OA=AD
在△OFA和△OBD中
∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB
∴△OFA≌△DAB
∴OF=BD,即②正确；
③过F作FH⊥OD，垂足为H,
∵平分，DA⊥OB
∴FH=AF
∵，DA⊥OB
∴∠HDF=45°
∴sin∠HDF=,即；故③正确；
④由②得∠EDF=∠AOF，
∵G为OF中点
∴OG=OF
∵DE=BE=BD，OF=BD
∴OG=DE
在△OGA和△AED中
OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA
∴△OGA≌△AED
∴OG=EF,∠GAO=∠DAE
∴△GAE是等腰三角形
∵DA⊥OB
∴∠OAG+∠DAG=90°
∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90°
∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确．
故答案为A．
11．且．
解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．．
12．3.5
解：∵数据2，4，6，x，3，9的众数为3，
∴x＝3，
则这组数据为2、3、3、4、6、9，
所以这组数据的中位数为＝3.5，
故答案为：3.5．
13．
解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．m≤-5或m≠-9
解：
去分母得：，
解得：，
由分式方程解不小于1，得到，且，
解得：且 ，
故答案为：且 ．
15．
解：如图，设平行四边形与正方形的中心为点，则直线就是可以将正方形与平行四边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．

∵点C的坐标为，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴，
∴点N的坐标为．
由平行四边形的对边相等知，
，
∵点A的纵坐标为1，
∴点B的纵坐标为3．
点B的坐标为，
因此点M的坐标为．
设直线l的解析式为，
将、代入l的解析式得：
．
解得．
∴直线l的解析式为．
故答案为：．
16．．
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
，
∵，，
∴，
，
∴，
故答案为．
17．（1）；（2）；
解：（1）原式
；
解：（2）原式
，
，，
即，
当时，原式．
18．（1）1.45kg， 1.5kg；（2）1.45kg；（3）46980元．
解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（kg），众数是1.5kg，
故答案为：1.45kg，1.5kg．
（2）＝＝1.45（kg），
∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；
（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．
19．(1)见解析
(2)9
（1）解：∵， ，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）四边形的面积
．
20．作图见解析
解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示：
则四边形均为平行四边形，
，
，则即为所求．
21．（1），；（2）或；（3）．
（1）由题意得：
∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；当时，，解得
（2）由图象可以看出的解集为或
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大）
∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点．
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为．
即点的坐标为．
22．（1）种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；（2）商店共有5种进货方案;（3）①当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，②当时，，（2）问中所有进货方案获利相同，③当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元；
（2）设购买种商品件，则购买商品（）件，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售两种商品共获利元，
由题意得：
，
①当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当时，，
与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，即买14件商品，26件商品．
23．(1)
(2)
(3)4.8或8或9.6
（1）解： 四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，，到的距离为，
，，，
，
，
，
．
（3）解：，，
，
点P在边上，以每秒1的速度从点A向点D运动．
则点A到点D运动时间为，
点Q在边上，以每秒4的速度从点C出发，在间往返运动，
则点Q在边上往返运动次，
当时，四边形是平行四边形，
，
或或或，
解得：（舍去）或或8或，
为4.8或8或9.6时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
24．（1）B(4,2)；（2）；（3）P点坐标为（2,2）或（5,）或（-2,4）.
解：(1)∵A(4,0)，AB∥OC，
∴设点B的坐标为(4,y)
把x=4代入中，得y=2，
∴B(4,2)；
(2)如图，过C点作CN⊥AB于N,

∵AB∥OC，
∴∠OCM=∠DMC，
∵点 O′为点 O 关于直线L的对称点
∴∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵，当x=0时y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴DN=，
∴NM=5 3=2，
∴AM=AN-NM=3-2=1
∴M(4,1)，
设直线L解析式y=kx+b把C(0,3)，M(4,1)代入得：
，解得，
∴直线L的解析式为：.
（3）如图，连接OD，
∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A点坐标为（4,0）
∴D点坐标为（4,6）
设OD直线解析式为，将（4,6）代入可得，解得
∴直线OD解析式为，
∵点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动
∴设P点坐标为（），Q点坐标为（），
分情况讨论：

如图1所示，当BC、PQ为对角线时，由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得：
，解得，
当时，
∴P点坐标为（2,2）；
如图2所示，当BQ、PC为对角线时，同理可得：
，解得，
当时，
∴P点坐标为（5,）；
如图3所示，当BP、CQ为对角线时，同理可得：
，解得，
当时，
∴P点坐标为（-2,4）；
综上所述，P点坐标为：（2,2）或（5,）或（-2,4）.

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