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高一数学学科暑期测试卷答题卡
班级： 姓名：
一、单选题：
1—4： 5—8：
二、多选题：
9： 10： 11：
三、填空题：
12: 13： 14：
四、解答题：
15、
16、
17、
18、
19、
P
n!
B
D
C
E
A
C
D
B
B
A
C
D
B
A
C高一数学学科暑期测试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A D A D B AC ABD
题号 11
答案 AC
1．【详解】因为 ，则 ，
所以 .
2．【详解】对于 A：若 ， ，则 或 与 异面，故 A 错误；
对于 B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，
故若 ， ，则 ，故 B 正确；
对于 C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，
故若 ， ，则 ，故 C 正确；
对于 D：根据面面垂直的判断定理可知，若 ， ，则 ，故 D 正确；
3．【详解】因为 ，
则由 ， ，可得函数 的图象的对称中心的横坐标为 ， ，
又 ，所以当 时， 取的最小值 ，
4．【详解】由三角函数的基本关系式和倍角公式，可得
因为 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以 .
5．【详解】 ，
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.
6．【详解】 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
，
则 ，整理得 ．
由余弦定理得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，故 ，即 的取值范围是 .
7．【详解】因为圆锥的高和母线长分别为 和 ，
则圆锥的底面半径为 ，
过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：
此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为 ，则
作 垂直地面于 ，则
因为 ，所以 ，
即 即 ，所以 .
8．【详解】由 ，两边平方得
又 ，且 对任意实数 恒成立，
即 恒成立，故 ，
即 ，解得 ，即 ，且 ，
而 ，故 ，
则由绝对值三角不等式得
9．【详解】由题意可作图如下：
对于 A，在正六边形 中， ，则 与 不共线，故 A 正确；
对于 B，在正六边形 中， 且 ，
则 ，故 B 错误；
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对于 C，设正六边形的内角大小为 ，则 ，
在 中， ，则 ， ，
则 ，故 C 正确；
对于 D，在 中，
，同理可得：
，
由 C 选项易知 ，则 ，
则 ，故 D 错误.
10．【详解】由图知 ,可得 ，又 ，
解得： 或 ，又
若 无解；若 ，则 ，所以 ，向右
平移 得到 ，
对于 A：因为 ，所以是奇函数，关于原点对称，故 A 错误；
对于 B：令 ，故对称中心 ,故 B 错误；
对于 C:因为 ，则 ，所以 在区间 的最小值为：
，故 C 正确；
对于 D：因为 ，所以 ，所以 在此区间不单调，故 D 错误；
11．【详解】A 选项，取 的中点 ，连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，同理可得 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
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故当 在线段 上时，满足 平面 ，A 正确；
B 选项，连接 ，由 A 知， ，又 ，所以 ，
所以四边形 即为过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形，
因为 ，所以四边形 为梯形，B 错误；
C 选项，由 B 知， ，故 为直线 与 所成角或其补角，
连接 ，则 ，
所以 为等边三角形，故 ，
异面直线 与 所成的角的大小为 ，C 正确；
D 选项，连接 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ，同理可得 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
故当 在线段 上时， 平面 ，
所以 平面 ，
所以若 平面 ，则点 的轨迹的长度为 ，D 错误
12．
【详解】因为 ， ，则 ，
所以， 在 方向上的投影向量为
.
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13.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，由垂径定理可得 ，
所以二面角 的平面角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，
，则 ， ， ，
因 平面 ，则 为直线 SA 与圆锥底面所成角，即 ，
则在 中， ，故 ，
所以， ，
因为 ，故 ，即二面角 的大小为 .
14．
【详解】在 中， ，
故 ，即 ，
则折成的三棱锥 中， ， ， ，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为 a，b，c
则 ，解得 ，
此长方体的外接球是三棱锥 的外接球，
设外接球的直径 ，即 ，
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角，
故三棱锥 ，
三棱锥 四个侧面是全等的，
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，
设内切球半径为 ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面
的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故 ，
则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 .
15．【详解】（1）由题意得 ，
因为 ，
所以 ，
得 ， 得 ，因为 ，所以 ．
（2）由 ，得 ．
由余弦定理 ，得 ，
得 ， 得 ，
所以 的周长为 ．
16．【详解】（1）证明：连接 ，设 ，连接 .
因为三棱柱的侧面 为平行四边形，所以 为 的中点.
在 中，因为 是 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 为正三角形，所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 为 与平面 所成的角，所以 ，
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所以 ，
因为 ， 为 中点，
所以 .
所以
.
17．【详解】（1）
，
，因为 图象的相邻对称轴之间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 ，
所以 ，得 ，所以 ，
令 ，
则 ，所以 的单调递增区间为 ；
（2）由（1）知 ，
将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，
纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 的图象，
再向左平移 个单位得 的图象.
令 ， ，则 ，所以 ，
因为 在 上只有一个解，由 的图象（如图）可得，
或 ，所以 的取值范围是 .
18．【详解】（1）由 ，且 D 是 BC 的中点，得 ，则
， 共线，
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又 为 的重心，则 ， ，
又 为 的外心，连接 ， ，而 是 的中点，因此 ，
在 中， ，由余弦定理得
，
所以 .
（2）①由 平面 , 平面 ，得 ,又 ，
平面 ，则 平面 ，而 平面 ，所以
.
②由①知， ，则 为二面角 的平面角，
而二面角 的正切值为 4，即 ，解得 ，
又 的外心为 ，令三棱锥 外接球的球心为 ，则 平面 ，
有 ，四边形 是直角梯形，设外接球的半径为 ，
于是 ， ，
因此 ，解得 ， ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 .
19．【详解】（1）因为 , ,
所以 ,
即 ,
所以 ,所以 .
（2）由（1）可知 ，
所以 ,
设 ,且 为等边三角形，
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即 ，
故 ，
且 ，
所以当 时， ，
所以 .
（3）因为 平分 ,
所以由角平分线定理得 ,即 ,
故 ,
设 ， ， 的内切圆半径分别为 ,
在 中 ,则 ，解得 ，
因为 ,
所以 ,
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 .
又因为 ,
,
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
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则 ，故 ， ，
即 ，故 ,
所以 与 的内切圆半径之比的范围为 .
答案第 1 页，共 2 页高一数学学科暑期测试卷
一、单选题
1．若复数 z 满足 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知 ， 是平面， ， 是直线，下列命题中不正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
3．若点 是函数 图象的一个对称中心，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6． 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．21 世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示
的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为 和 ，该容器需要在圆锥内部挖出
一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量 、 、 满足 ，且 对任意实数
恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
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二、多选题
9．已知正六边形 的边长为 1，下列说法正确的是（ ）
A．向量 与 可以作为平面内一组基底 B．
C． D．
10．函数 （ ， ）部分图象如下，它过 ， 两点，
将 的图像向右平移 个单位得到 的图象，则下列关于 的说法错误的是（ ）
A．图像关于 轴对称 B．图像关于 中心对称
C．在 最小值为 D．在 上单调递增
11．如图，正方体 的棱长为 2， ， 分别是 ， 的中
点，点 是底面 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点 ，使得 平面
B．过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．异面直线 与 所成的角的大小为
D．若 平面 ，则点 的轨迹的长度为
三、填空题
12．已知 ， ，则 在 方向上的投影向量坐标为 ．
13.已知圆锥的顶点为 为底面圆心，母线 互相垂直且 的面积为 2，
直线 SA 与圆锥底面所成角为 ，则二面角 的大小为 ．
14．已知四边形 ABCD 为平行四边形， ， ， ，现将
沿直线 BD 翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切
球与外接球表面积的比值为 .
四、解答题
15．记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
(1)求 B 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
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16．如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，边长为 2，且 ，
， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， 与平面 所成的角为 ，求四棱锥
的体积.
17．已知函数 ， 图象的相邻对称轴之间的
距离为 .
(1)求 的解析式和函数 的单调递增区间；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长为原来的 2 倍，再向左
平移 个单位得 的图象，若关于 的方程 在 上只有一个解，求实数
的取值范围.
试卷第 1 页，共 3 页
18．已知 E，F 分别为 的重心和外心，D 是 BC 的中点， ， ．
(1)求 BE；
(2)如图，P 为平面 ABC 外一点， 平面 ABC，二面角 的正切
值为 4．
①求证： ；
②求三棱锥 的外接球的体积．
19．如图， 中， ， ，点 在线段 上， 为等边三角形.
(1)若 ， ，求线段 的长度;
(2)若 ，求线段 的最大值;
(3)若 平分 ，求 与 内切圆半径之比的取值
试卷第 1 页，共 3 页
答案第 1 页，共 2 页

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