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第十三-十五章 三角形、全等三角形、轴对称
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绵阳）如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，△的面积为5，则的长为　　
A．1 B．2 C．3 D．5
2．（2025 新乐市一模）为测量一池塘两端，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为，间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是　　
A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行
3．（2025 海南二模）在△中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．（2025 石家庄模拟）某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大　　
A． B． C． D．
5．（2025 兴化市二模）赵爽弦图是证明勾股定理的重要图形，以下可近似看作轴对称图形的汉字是　　
A．赵 B．爽 C．弦 D．图
6．（2025 贺州一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是　　
A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，5
7．（2025 南安市模拟）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长为　　
A．8 B．11 C．16 D．17
8．（2025 浙江模拟）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则　　
A． B． C． D．
9．（2025春 西安期末）如图，在三角形ABE中，AB＝AE，点D为AE右侧一点，连接AD，BD，DE，点C是BD上一点，连接AC，AC＝AD．若∠BAE＝∠CAD，∠1+∠2+∠3＝100°，则∠3的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
10．（2025 武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共10小题）
11．（2025 东平县一模）如图，已知等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则　　．
12．（2025 寻乌县一模）如图，在中，，为边上一点．若将分成了两个等腰三角形，则的度数为 　　．
13．（2025 常州一模）图中的小正方形的边长都相等，若，则点可能是四个点中的点 　　．
14．（2025 南山区校级一模）如图，在四边形中，，，平分，且，点为边中点，，则的面积为 　　．
15．（2025 莲湖区模拟）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 　　．
16．（2025 凉州区二模）如图，已知，是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则等于 　　．
17．（2025 陈仓区一模）如图，在中，，，，是斜边上的动点，连接，于点，连接．则的最小值是 　　．
18．（2025 台安县一模）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 　　．
19．（2025 虎林市校级二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）　　，使．
20．（2025 龙湖区一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点，，分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 　　．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 新吴区二模）如图，在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
22．（2025 连山区一模）【问题初探】
（1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，构造；
②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点作交延长线于点，于是得到；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图5，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度．
23．（2025 重庆）如图1，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过．
24．（2025 绥江县二模）如图，，，，求证：．
25．（2025 右玉县四模）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
第十三-十五章 三角形、全等三角形、轴对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绵阳）如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，△的面积为5，则的长为　　
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】
【考点】角平分线的性质
【专题】运算能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】过作于，根据平分，，，得，由△的面积为5，，可得，故．
【解答】解：过作于，如图：
平分，，，
，
△的面积为5，
，
，
，
；
故选：．
【点评】本题考查角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
2．（2025 新乐市一模）为测量一池塘两端，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为，间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是　　
A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行
【答案】
【考点】全等三角形的应用
【专题】图形的全等；推理能力
【分析】利用证明，得，可知甲正确；
【解答】解：甲：，，
，
在和中，
，
，
，
故甲正确；
乙：当与不垂直时，过作于，
，
，
和不重合，
；
故乙错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2025 海南二模）在△中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2025 石家庄模拟）某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【专题】推理能力；三角形
【分析】由平角的定义可得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
，
，
是的外角，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
5．（2025 兴化市二模）赵爽弦图是证明勾股定理的重要图形，以下可近似看作轴对称图形的汉字是　　
A．赵 B．爽 C．弦 D．图
【答案】
【考点】勾股定理的证明；轴对称图形
【专题】猜想归纳；推理能力
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，直接选择即可．
【解答】解：赵爽弦图四个字可近似看作轴对称图形的汉字是爽．
故选：．
【点评】此题考查轴对称图形的定义，解题关键是直接找出汉字的对称轴即可．
6．（2025 贺州一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是　　
A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，5
【答案】
【考点】三角形三边关系
【专题】三角形；推理能力
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：、，长度是5、6、12的线段不能组成三角形，故不符合题意；
、，长度是4、4、8的线段不能组成三角形，故不符合题意；
、，长度是2、3、4的线段能组成三角形，故符合题意；
、，长度是2、3、5的线段不能组成三角形，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
7．（2025 南安市模拟）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长为　　
A．8 B．11 C．16 D．17
【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质
【专题】三角形；推理能力
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2025 浙江模拟）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂线；三角形的外角性质
【专题】三角形；运算能力；推理能力
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得，，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】解：如图，由题意可知，，，
两个三角板中有刻度的边互相垂直，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
9．（2025春 西安期末）如图，在等腰三角形ABE中，AB＝AE，点D为AE右侧一点，连接AD，BD，DE，点C是BD上一点，连接AC，AC＝AD．若∠BAE＝∠CAD，∠1+∠2+∠3＝100°，则∠3的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【考点】全等三角形的判定与性质
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由SAS可证△ACB≌△ADE，可得∠1＝∠ABC，由外角的性质可得∠3＝∠1+∠2，即可求解．
【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ACB和△ADE中，
，
∴△ACB≌△ADE（SAS），
∴∠1＝∠ABC，
∵∠3＝∠BAC+∠ABC，
∴∠3＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠3＝100°，
∴∠3＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．（2025 武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】：角平分线的性质
【专题】67：推理能力；553：图形的全等；551：线段、角、相交线与平行线
【分析】（1）作于，证明，得到，同理可证即可得到结论；
（2）根据角平分线的判定定理解答即可；
（3）根据全等三角形的性质证得，，再根据四边形内角和即可证得和关系．
【解答】解：（1）证明：作于，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
同理，，
，
（1）正确；
（2）与（1）可知：，
又于，于，
点在的平分线上，
（2）正确；
（3），
又，
，
即，
由（1）知：，
，
同理：，
，
即，
，
（3）错误；
故选：．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 东平县一模）如图，已知等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则　　．
【考点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【分析】由翻折的性质可知，在中，由三角形内角和求解即可．
【解答】解：由翻折的性质可知；．
为等边三角形，
，，．
，
为直角三角形，
，
，
．
故答案为：
【点评】本题主要考查是翻折的性质，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．
12．（2025 寻乌县一模）如图，在中，，为边上一点．若将分成了两个等腰三角形，则的度数为 　或或　．
【答案】或或．
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：由题意知与均为等腰三角形，
对于可能有①，此时，
，
，
②，此时，
，
，
③，此时，，
，
，
综上所述，度数可以为或或．
故答案为：或或．
【点评】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．（2025 常州一模）图中的小正方形的边长都相等，若，则点可能是四个点中的点 　　．
【答案】．
【考点】全等三角形的性质
【专题】图形的全等；几何直观
【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．
【解答】解：，
点应是图中的点，如图，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
14．（2025 南山区校级一模）如图，在四边形中，，，平分，且，点为边中点，，则的面积为 　12　．
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力
【分析】过作于，由角平分线的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图，过作于，
，
，
平分，
，
，
，
点为边中点，，
，
，
故答案为：12．
【点评】本题考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
15．（2025 莲湖区模拟）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 　　．
【答案】．
【考点】勾股定理的证明
【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形
【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为4，继而得，由勾股定理可求得的长．
【解答】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，
且，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的证明，找到周围三角形面积和中间正方形面积的关系是解题的关键．
16．（2025 凉州区二模）如图，已知，是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则等于 　2　．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质
【分析】作于，根据三角形的外角的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的性质解答；
【解答】解：作于，
，
，
是平分线上一点，
，
，
，
是平分线上一点，，，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（2025 陈仓区一模）如图，在中，，，，是斜边上的动点，连接，于点，连接．则的最小值是 　2　．
【答案】2．
【考点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】取中点，连接，，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形的三边关系即可求出的最小值．
【解答】解：取中点，连接，，
，
，
，
，，，
，
，
的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造，应用三角形的三边关系定理求的最小值．
18．（2025 台安县一模）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 　48　．
【考点】全等三角形的性质；平移的性质
【专题】三角形
【分析】根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，，，
，
．
故答案为48．
【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键．
19．（2025 虎林市校级二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）　或或或　，使．
【答案】或或或．
【考点】全等三角形的判定
【专题】图形的全等；推理能力
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：，，
当添加，可根据“”判定；
当添加，可根据“”判定；
当添加或，可根据“”判定．
故答案为：或或或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
20．（2025 龙湖区一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点，，分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 　48　．
【答案】48．
【考点】全等三角形的应用；等腰直角三角形
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：48．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是证得，．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 新吴区二模）如图，在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）利用“角角边”证明和全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，再根据邻补角的定义求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
（2），
，
又，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．
22．（2025 连山区一模）【问题初探】
（1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，构造；
②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点作交延长线于点，于是得到；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图5，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）．
（3）．
【考点】三角形综合题
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的全等；推理能力
【分析】（1）方法一：延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质可得出，，根据等腰三角形的判定与性质则可得出结论；
方法二：过点作交延长线于点，证明，得出，则可得出结论；
（2）连接并延长至，使，先证得，进而证得，进一步得，，从而得出结论；
（3）延长至点，使，连接，，由相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：方法一：延长至，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
方法二：过点作交延长线于点，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：．
理由：延长至，使，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，，
点是中点，点是中点，
是的中位线，
，
作，垂足为，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在上取点，使，则，
，
，
在 中，，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（2025 重庆）如图1，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过．
【答案】（1），；
（2）图象见解析过程；的图象性质：在，随的增大而增大，的图象性质：在，随的增大而减小；
（3）．
【考点】三角形综合题
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；图形的相似；推理能力；应用意识
【分析】（1）通过证明，可得，，即可解；
（2）根据解析式画出图象即可；
（3）根据题意列出不等式，可求解．
【解答】解：（1），
，
，，
，，
，
点为上一点，
，；
（2）图象如图所示：
的图象性质：在，随的增大而增大，
的图象性质：在，随的增大而减小；
（3），
，
，
（舍去），，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（2025 绥江县二模）如图，，，，求证：．
【答案】见解答．
【考点】全等三角形的判定
【专题】图形的全等；推理能力
【分析】先证明．然后利用“”证明．
【解答】证明：，
，
即．
在和中，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
25．（2025 右玉县四模）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
【考点】角平分线的性质
【分析】根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【解答】证明：为的平分线，
，
在和中，，
，
，
点在上，，，
．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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