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四川省射洪中学2024—2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2025高二下·射洪期末）下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·射洪期末）已知数列的前项和为，且，则（　　）
A．16 B．17 C．20 D．21
3．（2025高二下·射洪期末）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·射洪期末）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025高二下·射洪期末）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（　　）
A．16 B．20 C．28 D．40
6．（2025高二下·射洪期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·射洪期末）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（　　）
A．是的极值点
B．在区间上单调递增
C．是在区间上的最小值点
D．曲线在点处的切线斜率小于零
8．（2025高二下·射洪期末）若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·射洪期末）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
　 患病 未患病
服用药 10 45
没服用药 20 30
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（　　）
附：；
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
A．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025
B．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01
C．该药物的预防有效率超过
D．若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005
10．（2025高二下·射洪期末）若，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·射洪期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．函数有三个零点
C．函数的对称中心为
D．过可以作两条直线与的图象相切
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·射洪期末）在前n项和为的等差数列中，，，则　 　.
13．（2025高二下·射洪期末）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为　 　．（用数字作答）
14．（2025高二下·射洪期末）设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·射洪期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在上的值域．
16．（2025高二下·射洪期末）随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额y 9 12 17 21 26
（1）统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度.
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额.
参考数据：；
参考公式：；回归方程，，.
17．（2025高二下·射洪期末）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
（2）记，求数列的前n项和.
18．（2025高二下·射洪期末）已知函数.
（1）若， 求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
19．（2025高二下·射洪期末）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.
（1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率；
（2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，
且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】A：，A错误；
B：，B错误；
C：，C正确；
D：，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则，逐一分析每个选项的导数计算是否正确.常数、对数函数、幂函数、指数函数的求导公式，以及乘积法则、复合函数求导法则等.
2．【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题设，又，，则，所以.
故答案为：B
【分析】数列前项和与数列项的关系展开.利用数列前项和的定义（是数列前项的和，即 ），的值来推导数列的具体项或项的组合值.计算，可先找到与、相关的值，再通过项的和的关系间接求解，避免单独求（需先求通项，相对繁琐 ）.
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式；条件概率
【解析】【解答】解：由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.从而，，故.
故答案为：A.
【分析】计算条件概率，根据条件概率的定义，需先明确 ，所以解题思路是：先分别求出事件发生的概率（即两次取球颜色相同的概率 ），以及事件和同时发生的概率（即两次取球颜色相同且至少有1个红球的概率 ），最后代入公式计算.
4．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，则，因为，，成等差数列，所以，又，所以，所以，故，
故答案为：B．
【分析】确定等比数列的公比，需利用等差数列和等比数列的性质，由成等差数列，根据等差数列性质可得到关于、、的等式；再结合等比数列中（为公比 ）以及已知，通过等式变形求出公比 .
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若一组2人，另一组4人，有种；
若每组各3人，有种，则不同分组方法共有种；
再将两组志愿者分配到两个服务站共有种，
故总的分配方案有种.
故答案为：C.
【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：赞成栽种乙树木的人数设为X，则，
根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和二项分布求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出至少有3人建议栽种乙树木的概率.
7．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由的图象可知：当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确；
由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误，
故答案为：C.
【分析】导函数图象判断原函数的单调性、极值点、最值点以及切线斜率.导函数的正负决定原函数的单调性，导函数为的点可能是极值点，结合单调性可确定极值点和最值点，导函数在某点的值就是原函数在该点切线的斜率.
8．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可知：，，即，构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，又，所以，其中，令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，即，故实数的最小值为．
故答案为：A
【分析】要解决不等式恒成立求实数a最小值的问题，思路是通过对不等式变形，构造合适函数，利用函数单调性转化不等式，再通过研究函数最值来确定a的取值范围，具体来说，先把原不等式变形为能构造同一函数形式的式子，构造函数后利用导数判断单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，最后求新函数的最值得到a的最小值 .
9．【答案】A,D
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：根据列联表：
患病 未患病 合计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
计算，
A：因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A正确；
B：因为根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是无效的，此推断犯错误的概率不超过0.01，B错误；
C：可推断该药物的预防有效率超过，C错误；
D：若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，则根据小概率的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D正确；
故答案为：AD.
【分析】围绕独立性检验展开，根据列联表数据，利用公式算出值，结合不同小概率值对应的临界值，判断各选项中关于“服用药物是否有效”推断的正确性，同时理解推断犯错误概率与的关系.
10．【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，A正确．
，B错误．
令，得，则，C错误．
令，得，
则，D正确．
故答案为：AD.
【分析】围绕二项式展开式的系数求解，涉及赋值法求特定项系数、利用二项式通项公式求指定项系数.对赋特殊值，结合二项式展开式的性质，分别判断各选项的正确性，赋值法和二项式通项的运用.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：，因为函数有极小值点，所以，解得，所以，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；
C：由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；
D：设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或，所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕三次函数的性质展开，包括极值点、单调性、零点、对称中心以及切线问题.利用导数研究函数的极值点确定参数，再通过导数分析单调性、极值判断零点个数，借助对称中心的性质验证对称中心，最后通过设切点求切线方程判断过定点的切线条数.
12．【答案】12
【知识点】等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，可知为等差数列，则，即，解得.
故答案为：12.
【分析】等差数列前项和的问题，用等差数列前项和的性质：在等差数列中，表示前项和，则，，（为正整数 ）构成新的等差数列，，所以，，成等差数列，用等差中项（、、为等差数列连续三项 ）来计算，避免求首项和公差，简化运算.
13．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故，所以的展开式通项，，令，解得，所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】根据二项式系数的性质确定的值，再写出二项展开式的通项公式，最后通过令通项中的次数为，求出对应的，进而计算出的系数。关键在于利用“只有第项二项式系数最大”确定，再借助通项公式求解特定项系数 .
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；二项分布
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得或，
又因为，所以，可得，
则，所以，有5名男生，
所以．
故答案为：.
【分析】根据二项分布的均值公式与方差公式，从而求出的值，再利用超几何分布得出的值.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，又，由，解得或；由，解得.故函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为.
（2）解：由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，所以所以函数在上的值域为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】围绕函数，分两问考查函数性质.（1）对于单调区间，依据导数与函数单调性的关系，先求导，再解导数不等式确定；
（2）对于值域，结合单调区间找极值点与端点，算对应函数值来确定.
（1）函数的定义域为，
又，
由，解得或；由，解得.
故函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，所以，
所以函数在上的值域为.
16．【答案】（1）解：由题意，根据表格中的数据，可得：；，则，，所以，所以变量与的线性相关程度很强.
（2）解：由（1）可得，，，又由，所以，则，可得：关于的线性回归方程为；令，可得，即年两国的交易额交易额百亿元.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】围绕线性相关系数和线性回归方程展开.（1）对于线性相关系数，需先算变量均值、协方差、标准差乘积，再代入公式计算，依据值判断线性相关程度；
（2）对于线性回归方程，利用最小二乘法求系数和，得到方程后代入年对应值预测交易额，核心是掌握线性相关与回归的计算方法和逻辑 .
（1）由题意，根据表格中的数据，
可得：，，
则，
，
所以
所以变量与的线性相关程度很强.
（2）由（1）可得，，，
又由，
所以，则，
可得关于的线性回归方程为
令，可得，
即年两国的交易额交易额百亿元.
17．【答案】（1）证明：因为， 所以，
对上式两边同时取倒数有：，
所以，又因为，
所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）解： 因为，所以，
所以，
所以，
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1）通过对递推式变形，构造出等差数列的形式，利用等差数列定义和通项公式求解；（2）先根据（1）的结果求出，再对变形，用裂项相消法求和，递推式变形和数列求和方法的运用.
（1）因为， 所以，
对上式两边同时取倒数有：
所以，又因为，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以，所以，
所以，
18．【答案】（1）解：当时，
则，
∴切线斜率为，
又因为，
∴所求切线方程为.
（2）解：方法一：因为函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
所以，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，
此时至少有一个零点，
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以，当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意，与无交点，
所以，
∴要使在定义域上无零点，
则．
（3）解：因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，则，
则
①当时，，
∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，
则当时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意，
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式方程求出曲线在点处的切线方程.
（2）利用两种方法求解.
方法一：先求出导函数，分、两种情况讨论，则由导数正负分别判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出实数a的取值范围.
方法二：依题意可得，设，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用与无交点求出实数的取值范围.
（3）令，先求出导函数，分、、三种情况讨论，从而分别判断出函数的单调性，进而求出函数的最值，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，则，
∴切线斜率为，又，
∴所求切线方程为；
（2）方法一：函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，当时，
所以在上单调递减，在单调递增；
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，此时至少有一个零点；
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以当时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意与无交点，所以，
∴要使在定义域上无零点，则．
（3）因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，即，
则
①当时，，∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，即时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意；
综上所述，．
19．【答案】（1）解：设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：
（2）解：设，
依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
则，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，
则，
∴，
又因为，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
则.
（3）解：设王某第天去B餐厅的次数为，
则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，
当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，
，
所以，.
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式和全概率公式，从而得出小王第2天中午去A餐厅用餐的概率.
（2）利用全概率公式结合数列构造的知识，从而求解得出小王第i天中午去B餐厅用餐的概率.
（3）利用离散型随机变量分布列求数学期望的方法，再结合等比数列前n项和公式，从而得出.
（1）设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：.
（2）设，依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
即，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，即，
∴，而，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即；
（3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，，
故.
1 / 1四川省射洪中学2024—2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2025高二下·射洪期末）下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】A：，A错误；
B：，B错误；
C：，C正确；
D：，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则，逐一分析每个选项的导数计算是否正确.常数、对数函数、幂函数、指数函数的求导公式，以及乘积法则、复合函数求导法则等.
2．（2025高二下·射洪期末）已知数列的前项和为，且，则（　　）
A．16 B．17 C．20 D．21
【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题设，又，，则，所以.
故答案为：B
【分析】数列前项和与数列项的关系展开.利用数列前项和的定义（是数列前项的和，即 ），的值来推导数列的具体项或项的组合值.计算，可先找到与、相关的值，再通过项的和的关系间接求解，避免单独求（需先求通项，相对繁琐 ）.
3．（2025高二下·射洪期末）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式；条件概率
【解析】【解答】解：由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.从而，，故.
故答案为：A.
【分析】计算条件概率，根据条件概率的定义，需先明确 ，所以解题思路是：先分别求出事件发生的概率（即两次取球颜色相同的概率 ），以及事件和同时发生的概率（即两次取球颜色相同且至少有1个红球的概率 ），最后代入公式计算.
4．（2025高二下·射洪期末）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，则，因为，，成等差数列，所以，又，所以，所以，故，
故答案为：B．
【分析】确定等比数列的公比，需利用等差数列和等比数列的性质，由成等差数列，根据等差数列性质可得到关于、、的等式；再结合等比数列中（为公比 ）以及已知，通过等式变形求出公比 .
5．（2025高二下·射洪期末）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（　　）
A．16 B．20 C．28 D．40
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若一组2人，另一组4人，有种；
若每组各3人，有种，则不同分组方法共有种；
再将两组志愿者分配到两个服务站共有种，
故总的分配方案有种.
故答案为：C.
【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况求解即可.
6．（2025高二下·射洪期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：赞成栽种乙树木的人数设为X，则，
根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和二项分布求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出至少有3人建议栽种乙树木的概率.
7．（2025高二下·射洪期末）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（　　）
A．是的极值点
B．在区间上单调递增
C．是在区间上的最小值点
D．曲线在点处的切线斜率小于零
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由的图象可知：当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确；
由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误，
故答案为：C.
【分析】导函数图象判断原函数的单调性、极值点、最值点以及切线斜率.导函数的正负决定原函数的单调性，导函数为的点可能是极值点，结合单调性可确定极值点和最值点，导函数在某点的值就是原函数在该点切线的斜率.
8．（2025高二下·射洪期末）若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可知：，，即，构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，又，所以，其中，令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，即，故实数的最小值为．
故答案为：A
【分析】要解决不等式恒成立求实数a最小值的问题，思路是通过对不等式变形，构造合适函数，利用函数单调性转化不等式，再通过研究函数最值来确定a的取值范围，具体来说，先把原不等式变形为能构造同一函数形式的式子，构造函数后利用导数判断单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，最后求新函数的最值得到a的最小值 .
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·射洪期末）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
　 患病 未患病
服用药 10 45
没服用药 20 30
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（　　）
附：；
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
A．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025
B．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01
C．该药物的预防有效率超过
D．若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005
【答案】A,D
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：根据列联表：
患病 未患病 合计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
计算，
A：因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A正确；
B：因为根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是无效的，此推断犯错误的概率不超过0.01，B错误；
C：可推断该药物的预防有效率超过，C错误；
D：若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，则根据小概率的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D正确；
故答案为：AD.
【分析】围绕独立性检验展开，根据列联表数据，利用公式算出值，结合不同小概率值对应的临界值，判断各选项中关于“服用药物是否有效”推断的正确性，同时理解推断犯错误概率与的关系.
10．（2025高二下·射洪期末）若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，A正确．
，B错误．
令，得，则，C错误．
令，得，
则，D正确．
故答案为：AD.
【分析】围绕二项式展开式的系数求解，涉及赋值法求特定项系数、利用二项式通项公式求指定项系数.对赋特殊值，结合二项式展开式的性质，分别判断各选项的正确性，赋值法和二项式通项的运用.
11．（2025高二下·射洪期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．函数有三个零点
C．函数的对称中心为
D．过可以作两条直线与的图象相切
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：，因为函数有极小值点，所以，解得，所以，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；
C：由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；
D：设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或，所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】围绕三次函数的性质展开，包括极值点、单调性、零点、对称中心以及切线问题.利用导数研究函数的极值点确定参数，再通过导数分析单调性、极值判断零点个数，借助对称中心的性质验证对称中心，最后通过设切点求切线方程判断过定点的切线条数.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·射洪期末）在前n项和为的等差数列中，，，则　 　.
【答案】12
【知识点】等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，可知为等差数列，则，即，解得.
故答案为：12.
【分析】等差数列前项和的问题，用等差数列前项和的性质：在等差数列中，表示前项和，则，，（为正整数 ）构成新的等差数列，，所以，，成等差数列，用等差中项（、、为等差数列连续三项 ）来计算，避免求首项和公差，简化运算.
13．（2025高二下·射洪期末）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为　 　．（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故，所以的展开式通项，，令，解得，所以展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】根据二项式系数的性质确定的值，再写出二项展开式的通项公式，最后通过令通项中的次数为，求出对应的，进而计算出的系数。关键在于利用“只有第项二项式系数最大”确定，再借助通项公式求解特定项系数 .
14．（2025高二下·射洪期末）设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则　 　．
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；二项分布
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得或，
又因为，所以，可得，
则，所以，有5名男生，
所以．
故答案为：.
【分析】根据二项分布的均值公式与方差公式，从而求出的值，再利用超几何分布得出的值.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·射洪期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）解：函数的定义域为，又，由，解得或；由，解得.故函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为.
（2）解：由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，所以所以函数在上的值域为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】围绕函数，分两问考查函数性质.（1）对于单调区间，依据导数与函数单调性的关系，先求导，再解导数不等式确定；
（2）对于值域，结合单调区间找极值点与端点，算对应函数值来确定.
（1）函数的定义域为，
又，
由，解得或；由，解得.
故函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，所以，
所以函数在上的值域为.
16．（2025高二下·射洪期末）随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额y 9 12 17 21 26
（1）统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度.
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额.
参考数据：；
参考公式：；回归方程，，.
【答案】（1）解：由题意，根据表格中的数据，可得：；，则，，所以，所以变量与的线性相关程度很强.
（2）解：由（1）可得，，，又由，所以，则，可得：关于的线性回归方程为；令，可得，即年两国的交易额交易额百亿元.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】围绕线性相关系数和线性回归方程展开.（1）对于线性相关系数，需先算变量均值、协方差、标准差乘积，再代入公式计算，依据值判断线性相关程度；
（2）对于线性回归方程，利用最小二乘法求系数和，得到方程后代入年对应值预测交易额，核心是掌握线性相关与回归的计算方法和逻辑 .
（1）由题意，根据表格中的数据，
可得：，，
则，
，
所以
所以变量与的线性相关程度很强.
（2）由（1）可得，，，
又由，
所以，则，
可得关于的线性回归方程为
令，可得，
即年两国的交易额交易额百亿元.
17．（2025高二下·射洪期末）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
（2）记，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明：因为， 所以，
对上式两边同时取倒数有：，
所以，又因为，
所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）解： 因为，所以，
所以，
所以，
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1）通过对递推式变形，构造出等差数列的形式，利用等差数列定义和通项公式求解；（2）先根据（1）的结果求出，再对变形，用裂项相消法求和，递推式变形和数列求和方法的运用.
（1）因为， 所以，
对上式两边同时取倒数有：
所以，又因为，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以，所以，
所以，
18．（2025高二下·射洪期末）已知函数.
（1）若， 求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
则，
∴切线斜率为，
又因为，
∴所求切线方程为.
（2）解：方法一：因为函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
所以，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，
此时至少有一个零点，
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以，当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意，与无交点，
所以，
∴要使在定义域上无零点，
则．
（3）解：因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，则，
则
①当时，，
∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，
则当时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意，
综上所述，．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式方程求出曲线在点处的切线方程.
（2）利用两种方法求解.
方法一：先求出导函数，分、两种情况讨论，则由导数正负分别判断函数的单调性，再结合零点存在性定理得出实数a的取值范围.
方法二：依题意可得，设，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用与无交点求出实数的取值范围.
（3）令，先求出导函数，分、、三种情况讨论，从而分别判断出函数的单调性，进而求出函数的最值，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，则，
∴切线斜率为，又，
∴所求切线方程为；
（2）方法一：函数的定义域是，
∴，
①若，则，在上单调递增，
，，
∵，，，则，
则仅有一个零点，且零点位于；
②当，则当时，当时，
所以在上单调递减，在单调递增；
因为的最小值为，
若时，，此时无零点；
若时，，此时仅有一个零点；
若时，，，此时至少有一个零点；
综上所述，．
方法二：令，则，
设，则，
所以当时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为，且当趋于时趋于，
依题意与无交点，所以，
∴要使在定义域上无零点，则．
（3）因为，
所以问题转化为在区间有解，
令，即，
则
①当时，，∴时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意；
②当时，
∴时，，在上单调递减，
∴，即时，，符合题意；
③当时，
∴时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
∴，，符合题意；
综上所述，．
19．（2025高二下·射洪期末）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.
（1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率；
（2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，
且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求.
【答案】（1）解：设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：
（2）解：设，
依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
则，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，
那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，
则，
∴，
又因为，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
则.
（3）解：设王某第天去B餐厅的次数为，
则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，
当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，
，
所以，.
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用条件概率公式和全概率公式，从而得出小王第2天中午去A餐厅用餐的概率.
（2）利用全概率公式结合数列构造的知识，从而求解得出小王第i天中午去B餐厅用餐的概率.
（3）利用离散型随机变量分布列求数学期望的方法，再结合等比数列前n项和公式，从而得出.
（1）设事件表示：第天中午去A餐厅用餐，
事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中，
则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：.
（2）设，依题可知，，，
∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8，
即，而，
∴，
∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4，
∴.
由全概率公式可知，即，
∴，而，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即；
（3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1，
当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，，
故.
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