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第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的判定
课前小测
1.直线与圆的位置关系有哪些？
相交，相切，相离.
2.如何判定直线与圆的位置关系？
由直线与圆的交点个数判断：2个交点，相交；1个交点，相切；没有交点，相离.
由圆心到直线的距离d和半径r的关系判断：
d>r时，相离；d=r时，相切；d情境引入
问题：判定直线与圆相切的方法有哪些？
情境引入
①当直线与圆有唯一交点时，它们相切；
方法：
判定直线与圆相切的方法有哪些？
②过圆心作直线的垂线段d，当d=r时，它们也相切.
情境引入
今天咱们继续来探究
直线与圆相切的方法
合作探究
探究：切线的判定定理
O

A
因为圆心O到直线 l 的距离等于⊙O 的半径，
所以直线l与⊙O相切.
问题1： 过⊙O 的半径 OA 的外端点 A 作与半径 OA 垂直的直线 l（如下图），你发现直线 l 与⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
相切.
归纳小结
切线的判定定理 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
注意：“过半径的外端”和“垂直于半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
几何语言：
∵半径OA⊥l，∴l是⊙O的切线.
O

A
合作探究
探究：圆的判定定理
问题2：利用上面的定理，过⊙O 上任意一点，你会用三角尺画⊙O 的切线吗？试一试.
设P是⊙O上的任意一点，将三角尺的直角顶点与 P点重合，一条直角边过圆心 O，再沿另外一条直角边画直线，该直线便是⊙O的经过点P的切线.
典例分析
[例1]
如图，以△ ABC 的边 AB 为直径作⊙ O，如果⊙O 经过 AC 的中点 D，然后过 D 作 DE⊥ BC，垂足为点 E .DE 是⊙ O 的切线吗？说明理由.
O
A
C
D
E
B
∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴ AO = OB .又∵ AD = DC，
∴ OD 是△ ABC 的中位线，从而 OD∥BC .
∵ DE⊥ BC，∴ DE⊥ OD，∴ DE 是⊙O 的切线.
解 ：DE 是⊙ O 的切线. 理由如下：
连接 OD .
典例分析
[例1]
O
A
C
D
E
B
在例题中，你还能由已知探索出哪些结论？说明你的理由.
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC.又∵D是AC的中点，
∴BD是AC的垂直平分线.
∴AB=BC，∠A =∠C.
解：连接BD，
如图，以△ ABC 的边 AB 为直径作⊙ O，如果⊙O 经过 AC 的中点 D，然后过 D 作 DE⊥ BC，垂足为点 E .DE 是⊙ O 的切线吗？说明理由.
探究：切线的判定定理
[例2]
典例分析
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切
A
B
D
E
O
C
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
即圆心O到AC的距离 d = r
∴ AC是⊙O切线.
证明：过O作OE⊥AC于E.
归纳小结
一、当已知条件中直线与圆有交点时，连接圆心和交点就作出了半径，相当于已知直线过半径的外端，只需要证明此直线垂直于半径即可得到结论.简记为“有交点，连半径，证垂直”.
二、从已知条件中读不出直线与圆有交点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径（d=r），也可得到相切.简记为“无交点，作垂直，证半径”.
随堂检测
切线的判定 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.
A
B
C
D
O
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．
∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OB=BD，△BCD为等腰三角形，∠CBD=120°．
∴∠BCD=30°，∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
证明：连接OC、BC，
随堂检测
A
B
C
E
F
O
2.如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.
∵AB=AC,AO⊥BC，∴AO是∠BAC的平分线.
∵OE⊥AC, OF⊥AB,∴OF=OE.
∴AB是⊙O的切线.
证明：过点O作OF⊥AB于点F，
随堂检测
3.如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．
证明：（1）连接AD.
随堂检测
3.如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED．又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．
（2）连接OD.
课堂小结
1.切线的判定定理：过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意：“过半径的外端”和“垂直于半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
2.方法：①有交点，连半径，证垂直.
②无交点，作垂直，证半径.
作业布置
详见教材练习题
P94 T1-2
谢
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