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第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.4 直线与圆的位置关系
第3课时 切线的性质
课前小测
切线的判定方法有哪些？
交点个数.当直线与圆有一个交点时相切.
2. 当圆心到直线的距离d=r时，相切.
3. 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
情境引入
问题：切线有哪些性质呢？
情境引入
可以通过画图对它的正确性作出猜想.
问题1：你能说出切线的判定定理的逆命题吗？
圆的切线垂直于经过切点的半径.
问题2：这个逆命题是真命题还是假命题？
合作探究
探究：切线的性质定理
如果圆的切线垂直于经过切点的半径.是真命题，你能给出证明吗？
已知：如下图，直线l 与⊙ O 相切于点 A .
求证： OA⊥ l .
不好直接证明，用反证法能行吗？
O
A
合作探究
探究：切线的性质定理
于是 OB 垂直平分 AA'， OA = OA'.
∵点A是切点，OA是⊙O的半径，
∴ OA' 也是⊙ O 的半径.
这就是说，直线 l 与⊙O 有两个公共点，即 l 与⊙ O 相交，这与已知条件
“直线 l 与⊙O 相切于点 A”矛盾，所以 OA⊥ l .
已知：如下图，直线l 与⊙ O 相切于点 A .求证： OA⊥ l .
O
A
B
A′
证明: 如右图，假设 l 与半径 OA 不垂直. 过点 O 作 OB⊥直线 l，垂足为点 B . 在 l上取 BA' = BA，且使 B 点在 A与 A' 之间，连接 OA'.
归纳小结
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.
O

A
几何语言：如右图，l是⊙O的切线，A为切点.
∵l 是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥ l.
切线的其他性质：
切线与圆只有一个交点；
2. 圆心到切线的距离等于圆的半径.
典例分析
[例1]
A， B， C 是⊙O上的三点，经过点 A，点 B 分别作⊙O 的切线，两切线相交于点 P，如果∠ P = 42°，求∠ ACB 的度数.
A
B
C
P
m
O
解 （1）如图，当点C在
上时，连接 OA， OB .
∵ PA，PB 是⊙ O 的切线，A，B 是切点，
∴ ∠OAP =∠OBP = 90°.
在四边形 OAPB 中，∵ ∠ P = 42°，
∴ ∠AOB = 360° -∠OAP -∠OBP -∠ P
= 360° - 90° - 90° - 42° = 138°.
∴ ∠ACB = ∠ AOB = × 138° = 69°.
典例分析
[例1]
（2）如图，当点C在劣弧
上时，在优弧
上任取一点 C'，连接 AC'， BC' .
O
A
B
C
P
m
C′
由（1）知，∠AC'B = 69°，
在圆内接四边形ACBC'中，
∵ ∠ACB +∠AC'B = 180°，
∴ ∠ACB = 180° -∠AC'B = 180° - 69° = 111°.
A， B， C 是⊙O上的三点，经过点 A，点 B 分别作⊙O 的切线，两切线相交于点 P，如果∠ P = 42°，求∠ ACB 的度数.
归纳小结
在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径. 因为切点 A， B把⊙O 分成了一条优弧和一条劣弧，所以本题应分两种情况讨论.
[例2]
典例分析
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O 的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．求证：DC=BC.
证明：如上图，连接OC.
∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.
∵AE⊥CE，∴OC∥AB. ∴∠OCA=∠EAC.
∵OC =OA, ∴∠OCA=∠OAC. ∴∠EAC=OAC.
∴
∴DC=BC
[例2]
典例分析
你还有其他的方法吗？
证明：如上图，连接OC，BD.交于点F.
∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE. ∴∠FCE=90°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠EDB=90°.
∵AE⊥CE，∴∠CED=90°.∴∠FCE=∠CED =∠EDB=90°.
∴四边形CEDF是矩形，∴CO⊥BD. ∴DC=BC.
F
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O 的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．求证：DC=BC.
归纳小结
例2是考察切线的性质，一题多解.
在题目中已知切线，必连半径，得垂直.
第一个方法侧重于圆周角定理的推论的应用.
第二个方法从矩形的判定和性质以及垂径定理的推论得出.
随堂检测
切线的性质 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
D
随堂检测
2．如图所示，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是　　　　　．
（5,4）
随堂检测
3.如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE是⊙O的切线.
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．
∵E 为BC 的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．
∵BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线，
∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O 的切线.
证明：连接OD，BD，
课堂小结
一、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.
切线的其他性质：
（1）切线与圆只有一个交点；
（2）圆心到切线的距离等于圆的半径.
二、在已知圆的切线的条件下，必连半径，得垂直.
作业布置
详见教材练习题
P96 T1-2
谢
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