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第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.5 三角形的内切圆
课前小测
A
B
C
O
．
1.如右图，△ABC与⊙O有什么关系？
△ABC 是⊙O的内接三角形. ⊙O是△ABC的外接圆.
2.圆心O是△ABC的___________,是________________的交点，到________________的距离相等.
外心
三边垂直平分线
三个顶点
3.角平分线的性质定理和逆定理是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到角两边距离相等的点在角的平分线上.
情境引入
问题1：如下图，三块完全相同的三角形木料，需要从上面裁下一个圆形的木块，哪一个圆面积最大？
A
B
C
图C的圆的面积最大
情境引入
问题2：同学们你知道怎样正确画出裁剪图吗？
这就是本节课要探究的内容.
合作探究
探究：三角形的内切圆
问题1： 如图，在∠ AOB内作圆，使其与两边 OA， OB 都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作出，能作多少个？所作出的圆的圆心的位置有什么特征？
可以作出.
并且可以作无数个..
其中每个圆的圆心到∠ AOB的两边的距离都分别相等，所以这些圆的圆心都在∠ AOB的平分线上.
合作探究
探究：三角形的内切圆
问题2：任意作一个△ ABC，在三角形内作圆，使其与各边都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作出，能作多少个？所作出的圆的圆心的位置有什么特征？
由问题1可知，圆心在角的平分线上， 而三角形的三条角平分线相交于同一点，只需作任意两个角的平分线，交点即为圆心.所以只能作一个.
因为任意三角形的三条角平分线的交点都在三角形内部，所以圆心只能在三角形内部.
可以作出.
合作探究
探究：三角形的内切圆
问题3：怎样用尺规作一个圆，使它与△ ABC 的各边都相切呢？
已知：△ ABC.
求作：⊙ I，使它与△ ABC 各边都相切.
A
B
C
I
D
E
F
3. 以I为圆心， IF为半径作圆.
⊙I 就是所求作的圆.
1. 作∠ B， ∠ C 的平分线 BD， CE， BD 与 CE 相交于点I；
2. 过点I作IF⊥ BC，垂足为点F；
作法：
合作探究
探究：三角形的内切圆
问题4：你能说出上面作图的道理吗？与三角形各边都相切的圆有几个？
由作法可知，与三角形的各边都相切的圆能作并且只能作出一个.
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等.
任何一个三角形都有且只有一个内心，
三角形的内心在三角形的内部.
归纳小结
定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形.
内心性质：
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等.任何一个三角形都有且只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部.
典例分析
[例1]
如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于E、F两点，则（ ）
A. EF>AE+BF B. EF∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB与∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.
∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.
∴AE=OE，OF=BF.∴EF=AE+BF.故选C.
O
A
B
C
E
F
分析：如图，连接OA，OB.
C
探究：三角形的内切圆
[例2]
典例分析
如下图，在△ ABC 中， ∠ A = 68°，点 I 是内心.
(1) 求∠ BIC 的度数.
探究：三角形的内切圆
典例分析
（2）若∠A=50 °，则∠BIC = °.
（3）若∠BIC=120 °，则∠A = °.
115
60
[例2]
归纳小结
三角形的内心是三条角平分线的交点，所以三角形的内心已知时，
三角形顶点和内心的连线平分三角形的内角.
例2利用了这一性质和三角形内角和定理.
如果在△ ABC 中，点 I 是内心.
则
随堂检测
三角形的内切圆 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
D
随堂检测
B
随堂检测
115°
100°
随堂检测
4.如图，已知△ ABC 的三边长分别为 a， b， c，它的内切圆半径为 r . 切点分别为D，E，F.求△ ABC的面积.
A
B
C
O
a
b

c

D
E
F
解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF.
因为是内切圆，所以半径r (OD ) ⊥a，同理OE ⊥c，OF ⊥b. 所以
随堂检测
5. 已知 Rt△ ABC 的两条直角边 AC， BC 的长分别为 b， a . ∠C=90°，求它的内切圆半径r.
A
B
C
D
E
F
a

b
c
O
r
r
r
∵OD⊥AC ,OE⊥BC,AC⊥BC，∴四边形CDOE是矩形.
∵OD=OE=r，∴四边形CDOE是正方形.∴CD=CE=r.
∵BE和BF 与⊙O相切，∴BE=BF=a-r.同理AF=AD=b-r.
∴AB=AF+BF=a-r+b-r=c.
∴
解：如图，作∠A，∠B，∠C的角平分线交于点O，点O即为内心.
过点O作OD⊥AC ,OE⊥BC,OF⊥AB,OD,OF,OE即为内切圆半径r.
课堂小结
图2
3. 直角三角形内切圆半径r和三边关系：
内接
外接
外心
三边垂直平分线
三角形三个顶点
2
外切
内切
内
三条角平分线
三角形各边
作业布置
详见教材练习题
P103 T1-2
谢
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