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第3章 对圆的进一步认识
九年级上册
3.7 正多边形与圆
课前小测
1.三角形外心的性质？内心的性质？
3.你还记得什么叫正多边形吗？说出你常见的几种正多边形.
外角和恒等于360°.
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形.
2.n边形的内角和是多少？外角和呢？
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；
内心是三条角平分线的交点，到三边的距离相等.
情境引入
（1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴，
并说出这些对称轴是怎样的直线.
它们都是轴对称图形.
合作探究
探究一： 正多边形的对称性和有关概念
一．正多边形的轴对称性
（1）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正 n 边形有几条对称轴吗？各条对称轴有怎样的特征？由此猜测正多边形有什么性质？
正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，由此猜测正n边形有n条对称轴。
正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等.
合作探究
探究一： 正多边形的对称性和有关概念
（2）利用尺规分别画出正方形、正六边形的外接圆和内切圆，它们的外接圆与内切圆有什么特征？你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心
是各对称轴的交点.
合作探究
探究一：定义
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心. 如图，圆心O是正方形和正六边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.如图1，OA、OB是正方形的半径，图2中OA、OB是正六边形的半径.
内切圆的半径叫做正多方形的边心距.图1中OP是正方形的边心距；图2中OP是正六边形的边心距.
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，
正 n 边形的每个中心角都等于 .
图1中正方形的中心角是∠AOB=90°；图2中正六边形的中心角是∠AOB=60°.
图1
图2
（1）正多边形的中心：
（2）正多边形的半径:
（3）正多方形的边心距:
（4）正多边形的中心角：
合作探究
三．圆的中心对称性
（1）正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成了 n 个怎样的图形？相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？
正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成了两个全等的直角三角形.
合作探究
（2）如果正三角形的边长为 a，那么它的外接圆的半径 r 和内切圆的半径 d 分别是多少？一般地，如果正 n 边形的边长为 an，半径为 rn，边心距为 dn，这三个量之间有什么关系？
三．圆的中心对称性
合作探究
（3）以正 n 边形的中心 O 为旋转中心，将正 n 边形旋转 ,
你能得到什么结论？
跟原图形重合.
三．圆的中心对称性
合作探究
（4）正 n 边形是中心对称图形吗？
当 n 为偶数时，正 n 边形是中心对称图形，它的中心 O 是对称中心. 当 n 为奇数时，正n边形不是中心对称图形.
三．圆的中心对称性
典例分析
[例1]
一个正六边形花坛的半径为 R，求花坛的边长 a，周长 p 和面积 S .
A
B
C
D
E
F
O
R
G
解 如上图， ABCDEF 为正六边形. 连接OA， OB，作 OG⊥ AB，垂足为点 G，则 OA = OB = R，AB = a .
在等腰三角形 AOB 中，
通过作出正多边形的半径和边心距，可以把正多边形的有关计算问题转化为解
直角三角形的问题.
归纳小结
1.正多边形的轴对称性
（1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形有n 条对称轴.
（2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等.
（3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心
是各对称轴的交点.
2. 正多边形的中心，中心角、半径、边心距的概念及它们之间的关系.
3. 正多边形的中心对称性
当 n 为偶数时，正 n 边形是中心对称图形，它的中心 O 是对称中心. 当 n 为奇数时，正n边形不是中心对称图形.
合作探究
探究二：正多边形的画法
如下图， A， B， C， D， E 都是⊙ O 上的点，且∠ AOB =∠ BOC =∠ COD =∠ DOE .
（3）由（1）与（2），你能将圆周 n 等分吗？你能设计一种画正 n 边形的方法吗？与同学交流.
分析：设计如图所示，画一个圆，记为⊙ O .
（1）用量角器画一个
的圆心角∠ A1OA2；
（2）以点 A2 为圆心，以弦 A2A1 为半径在⊙ O 上截得点 A3 ；
（3）以点 A3 为圆心，以弦 A2A1 为半径在⊙ O 上截得点 A4， 这样继续下去，就可以把⊙ O 分成 n 等份.
（4）顺次连接这 n 个分点，就得到一个正 n 边形.
用这种方法可以画出任意一个正n边形，然而，由量角器所画的角是近似的，因此所画出的正n边形也只能是近似的.
探究二：正多边形的画法
[例2]
典例分析
用直尺和圆规作圆的内接正方形.
已知：⊙O.
求作：⊙O 的内接正方形ABCD .
作法 ：（1）过圆心 O 作⊙ O 的任意一条直径 AC .
（2）过点 O 作 AC 的垂线，交⊙ O 于 B， D 两点.
（3）顺次连接点 A， B， C， D， A（如上图）.
四边形 ABCD 就是所求作的⊙ O 的内接正方形.
探究二：正多边形的画法
[例3]
典例分析
用直尺和圆规作圆的内接正六边形.
已知：⊙ O.
求作：⊙ O的内接正六边形.
作法 ：（1）如图，在⊙ O 上任取一点 A，自点 A 起依次截取长度等于半径 OA 的弦，得到点 B， C， D， E， F .
（2）顺次连接点 A， B， C， D， E， F， A .
六边形 ABCDEF 就是求作的⊙ O 的内接正六边形.
归纳小结
画正多边形有两种作法:
一是求出中心角，在圆中用量角器画出这个中心角,再用圆规在圆上依次截取等弧即可得正多边形.
二是用尺规作图，但只限于一些特殊的正多边形，如例2作正方形，在例2的基础上，再作中心角的角平分线，可以得到正八边形，正十六边形等；如例3的方法作正六边形，取三个点可以作正三角形，作正六边形的中心角的平分线可以得到正十二边形，继续作角平分线可得正二十四边形等.
随堂检测
正多边形与圆 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
A
A
随堂检测
B
B
60°
1
120°
随堂检测
6.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.
A
B
C
D
E
∵BC垂直平分OD，
∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝ ＝ .
∴∠BOE＝60°.由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°.
∵AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，即△ABC为等边三角形.
解 根据题意画图.两位同学的方法正确.
连BO，CO，设BC交AD于点E.
课堂小结
正多边形是轴对称图形
正多边形的中心对称性
当 n 为偶数时，正 n 边形是中心对称图形，它的中心 O 是对称中心.
当 n 为奇数时，正n边形 不是中心对称图形.
概念:正多边形的半径，边心距，边长，中心，中心角以及它们之间的关系.
4. 正多边形的画法
作业布置
详见教材练习题
P112 T1-2
谢
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