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22.3 实际问题与二次函数（喷水和其他问题） 跟踪练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ）
A．假山上的点B到水平地面的距离为
B．水平方向上的长度为
C．
D．抛物线与的对称轴相同
3．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（ ）
A．m B．2m C．m D．1m
5．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（ ）
A．该重物在秒时，速度为3米/秒
B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同
C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒
D．当秒时，该重物下降距离为米
7．冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m．
10．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
11．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）

12．一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流．
13．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ．
14．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ．
三、解答题
15．综合与实践
项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究
调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为．
解决问题：
(1)请直接写出点，的坐标；
(2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）；
(3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标．
16．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为．
【问题解决】
(1)求a的值；
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度．
17．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米．
（3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由．
18．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．当时，．
(1)求函数关系式；
(2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？
(3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由．
19．2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标．
(1)当时，
①判断成绩是否达标，并说明理由；
②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值；
(2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围．
20．如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
解决如下问题：
(1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？
(2)在丰水期，测得水面到的距离为米．
①求此时水面截痕的长；
②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A D B C D
1．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键；
将抛物线化为顶点式即可解决问题.
【详解】解：∵，
∴当时，；
故选：B.
2．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项．
【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为，
当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为；
当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确；
由题意得，解得：，可知选项C正确；
由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键．
【详解】解：选图中第一象限的抛物线，
由题意得，抛物线顶点坐标为，过点，
设抛物线解析式为，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
故选：．
4．A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入抛物线解析式得：，
∴，
∴，
∴当时，，
即：水管的长为m；
故选A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点A到x轴的距离是，
∴令，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴点到轴的距离为，
∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式．
先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A；
分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B；
根据（A）中求得的函数表达式，可判断C；
先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D．
【详解】解：设直线的解析式为，
则，解得：，
所以直线的解析式为，
所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合；
该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合；
直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合；
设距离（s）与时间（t）的函数解析式为，
因为当时，，
所以，解得：，
所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为，
当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【详解】解：由题意得，，
当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误．
，且当时，，
蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确．
令，
．
或．
的图象开口向下，
蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．
依据题意，由点在抛物线上，则，可得抛物线为，结合点在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为，又点B在第一象限，到y轴的距离为，则B的横坐标为，令，则，即点B到x轴的距离为，进而可以得解．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴．
∴抛物线为．
又∵点在抛物线上，
∴．
∴．
∴抛物线为．
∵点B在第一象限，到y轴的距离为，
∴B的横坐标为．
∴令，则，
即点B到x轴的距离为．
故选：D．
9．6．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键．
根据题意得到，解方程即可得到结论．
【详解】解：，
当时，即，
解得，（不合题意，舍去），
该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米．
故答案为：6．
10．20
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的关系式，
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5米时，可设，将代入关系式得出；当喷头高度为时，可设，将代入关系式得，联立求出a，b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，此时的关系式为，将代入求出答案即可．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，对称轴也不变，
∴二次项系数和一次项系数都不变，
当喷头高时，可设，
将代入关系式，得；
当喷头高度为时，可设，
将代入关系式得.
联立，得，
解得．
设喷头高为h时，水柱落点距O点，
此时的关系式为，
将代入关系式，得，
解得．
当喷头高时，水柱落点距O点．
故答案为：20．
11．不能
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解．
【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
12．已
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把代入到中求出I的值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴或（舍去），
∵，
∴当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流已超过人体能承受的安全电流．
故答案为：已．
13．4
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论．
【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：，
因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0，
所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为，
所以，足球从踢出到落地所需的时间是，
故答案为：4
14．10
【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可．
【详解】解：根据题意，得，代入解析式，
解得，
故一次函数的解析式，
当时，
，
故点，
把代入解析式，
解得（舍去），
故抛物线的解析式为，
当时，
，
解得，
故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键．
15．(1)点，的坐标分别为，
(2)米
(3)点的坐标为，点的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意分别确定函数解析式是解题的关键；
（1）令，解方程，即可求解．
（2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为，把点代入，待定系数法求得解析式，当时，，即可求解；
（3）先求得直线的函数表达式为．当水压最小时，设喷头所在点的坐标为．设水流所在抛物线的函数表达式为，把点，代入，进而求得的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：令
解得：
∴点，的坐标分别为，
（2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为
把点代入，得．解，得．
当水压最大时抛物线的函数表达式为
当时，．
需在保温墙上做防水处理区域的高度为米．
（3）设直线的函数表达式为．
把点，代入，得
解，得，．
直线的函数表达式为．
设喷头所在点的坐标为．
当水压最小时，设水流所在抛物线的函数表达式为
把点代入，得．
解，得，（不合题意，舍去）
把代入，得．
所以点的坐标为
把点代入，得．
解，得（不合题意，舍去），．
把代入，得．
所以点的坐标为．
16．(1)
(2)米
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答．
（1）将代入，求出相应的a的值即可；
（2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可；
【详解】（1）解：由题意得：；
∵将代入中可得，，
解得，
∴a的值为．
（2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为，
将代入，可得，
解得；
答：喷水管要降低的高度为米；
17．（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当时，
解得，（舍去），
∴
∴点B的坐标为；
（3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米，
则（米）
∴点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
18．(1)
(2)当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为
(3)老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由当时，．从而，求出后即可判断得解；
（2）依据题意，结合（1）．又＜，进而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（2），从而当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，当时，．
．
．
．
（2）由题意，结合（1）．
，
当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为．
（3）由题意，结合（），
当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱．
老师在讲授此类概念所用时间应该控制在分钟左右．
19．(1)①成绩不达标，理由见解析；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①首先得到，求出，然后将代入求解比较即可；
②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F，设，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）首先求出，然后根据题意得到运动员落在线段上，然后列出不等式就即可．
【详解】（1）解：①当时，，
∵点P与水平距离为，
将代入，
∴，
将代入，
∵，
∴成绩不达标；
②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F，
设，则，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值22.5，
∴运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值为；
（2）解：∵着陆坡的解析式为，
∴当时，，
解得，
∴，
∵运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，
∴运动员落在线段上，
∴当时，，
解得；
∴当时，，
解得；
综上所述，．
20．(1)，最大水深为米
(2)①米②至少要向右划行米
【分析】（1）过作轴交于，结合题意及抛物线的性质得，，设，将的坐标代入，求出最小值，即可求解；
（2）①当时，解方程，即可求解；
②的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为，可得，，由对称性得，可设小球的轨迹抛物线的解析式为， 设向右划行米，小球落到点得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过作轴交于，
，
由抛物线的对称性得，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
；
当时，
，
最大水深为（米），
抛物线的解析式为，最大水深为米．
（2）解：①水面到的距离为米，
当时，
，
解得：，，
（米），
答：此时水面截痕的长米；
②解：如图，的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为，
，
由①得，
小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过、，
、关于小球轨迹所在抛物线的对称轴对称，
，，
，
可设小球的轨迹抛物线的解析式为，
，
解得：，
，
设向右划行米，小球落到点，
，
将代入得：
，
解得：，，
故嘉琪的小船至少要向右划行米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质，理解题意，能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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