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22.3 实际问题与二次函数（销售利润问题） 跟踪练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（ ）
A．最大值为5万元 B．最大值为7万元
C．最小值为5万元 D．最大值为6万元
2．某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预期最近的促销活动，单价是19元时只能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件，那么单价是　　元时，此次促销活动的预期获利最大．
A．15 B．16 C．17 D．18
3．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
4．某商店销售某种商品所获得的利润（元）关于所卖的件数的函数解析式是，则当时的最大利润为（ ）
A．2500元 B．47500元 C．50000元 D．250000元
5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（ ）
A．销售单价降低15元时，每天获得利润最大
B．每天的最大利润为1250元
C．若销售单价降低10元，每天的利润为1200元
D．若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元
二、填空题
6．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ，每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ．（以上关系式只列式不化简）．
7．某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元．
8．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x= 元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
9．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．
10．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为 ．
11．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．

12．某商品进价为元，当每件售价为元时，每天能售出件，经市场调查发现每件售价每降低元，则每天可多售出件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低 元．
三、解答题
13．我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
14．在端午节前夕三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的售销情况，请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题
小丽：每个定价3元，每天能卖出500个，而且，这种粽子每上涨0.1元，其售销量将减小10个
小华：照你所说，如果实现每天800元的售销利润，那该如何定价？莫忘了物价局规定售价不能超过进价的240%哟
小明：800元售销利润是不是最多的呢？如果不是，那该如何定价，才会使每天的利润最大？．
（1）小华的问题解答：
（2）小明的问题解答：
15．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
16．某地特产槟榔芋深受欢迎，某商场以7元/千克收购了3000千克优质槟榔芋，若现在马上出售，每千克可获得利润3元．根据市场调查发现，近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克，为了获得更大利润，商家决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天，在贮藏过程中平均每天损耗约10千克．
（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克槟榔芋售价（单位：元） 可供出售的槟榔芋重量（单位：千克）
现在出售 3000
x天后出售
（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得最大利润？
17．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：

（1）如果在3月份出售这种植物，单株获利__________元；
（2）单株售价与月份x之间的关系式为___________；单株成本与月份x之间的关系式为__________．
（3）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利=单株售价-单株成本）．
18．某服装公司的某种运动服每月的销量与售价的关系信息如表：
售价x（元/件） 100 110 120 130 …
月销量y（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：
①销量该运动服每件的利润是　 　元；
②月销量是y＝　 　；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为w元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润时多少？
（3）该公司决定每销售一件运动服，就捐赠a（a＞0）元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元，设销售该运动服的月利润为w元，若月销售最大利润是8800元，求a的值．
19．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是z元，z与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？
20．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B C A B D
1．B
【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
（万元）；
故选：B．
2．C
【分析】根据题意可以得到利润和单价的关系式，从而可以求得当单价为多少时，利润最大，本题得以解决．
【详解】设服装单价是x元，销售利润为w元，
所以当x=17时，w取得最大值，
故选：C.
【点睛】考查二次函数的应用，列出二次函数解析式，配方成顶点式即可求出单价为多少时，利润最大.
3．A
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
4．B
【分析】利用二次函数的对称轴公式可得：对称轴为：，再利用二次函数的图象及性质可得当时，y有最大值，将其带入解析式即可求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
，且，
二次函数的图象在时，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为：，
当时的最大利润为：47500元，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
5．D
【分析】设每件降价x元，由“每降低5元，每天可多售出10件”可知每降价1元可多售2件，根据题意可知每天的利润为（20+2x）（40-x），据此一一判断选项即可.
【详解】因为每降低5元，每天可多售出10件，所以每降价1元可多售2件，
设每件降价x元，每天的利润为y元，则每天可售（20+2x）件，每件利润为40-x，
所以每天的利润为
将整理成顶点式有，
由顶点式可知当销售单价降低15元时，每天获得利润最大，每天的最大利润为1250元，故A、B正确；
将x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正确；
令y=1050，则，解得，即当每天的利润为1050元，则销售单价可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D错误；
综上所述，答案选D.
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，能够根据题意列出每天利润与降低单价的二次函数方程是解题的关键.
6． y＝2000－5（x－100） w＝[2000－5（x－100）]（x－80）
【解析】略
7．205
【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值．
【详解】解：
∴当时，取最大值41，
（万元），
年所获利润的最大值205万元，
故答案为：205．
8．3.
【详解】试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=-x2+6x，
当x=-=3时，y有最大值，
即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
考点：二次函数的应用．
9．25
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
10．
【分析】根据销售利润为销量每件利润进而得出答案．
【详解】解：由于每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元，
则与之间的函数表达式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式．
11．121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据每天的利润单件利润每天售出的数量，列出函数解析式，再根据函数的性质即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设该商品每件售价降低元，每天的利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低元，
故答案为：．
13．（1）；（2）每千克60元，最大获利为1950元
【分析】（1）设一次函数关系式为，根据图像中的两点坐标即可求解；
（2）由获利，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】解：
（1）设一次函数关系式为
由图象可得，当时，；时，
∴，解得
∴与之间的关系式为．
（2）设该公司日获利为元，由题意得
∵；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴；
∴当时，随着的增大而增大；
∵，
∴时，有最大值；
．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与二次函数的性质.
14．（1）当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；（2）800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大
【详解】（1）设定价为x元，利润为y元，由题意得，y=（x-2）（500-×10）
y=-100（x-5）2+900，
-100（x-5）2+900，=800，
解得：x=4或x=6，
∵售价不能超过进价的240%，
∴x≤2×240%，
即x≤4.8，故x=4，
即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；
（2）由（1）得y=-100（x-5）2+900，
∵-100＜0，
∴函数图象开口向下，且对称轴为直线x=5，
∵x≤4.8，故当x=4.8时函数能取最大值，
即y最大=-100（x-5）2+900=896．
故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
考点: 二次函数的应用
15．y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元时，最大利润为16000元．
【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
【详解】解：（1）S=y（x﹣20）
=（x﹣40）（﹣10x+1200）
=﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000
=﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
16．（1）10，， （2）39000元
【分析】(1)根据已知条件填表即可；
(2)天后出售，按照等量关系“利润＝售价销售量－成本”列出函数关系式,求解即可.
【详解】解：（1）7+3=10（元），
x天后出售的售价为（10+0.2x）元/千克，
可供出售的槟郎芋重量为（3000-10x）千克，
故答案为10，，．
（2）设利润为y，依题意得：
=-2x+500x+9000
∵-2<0,开口向下，∴有最大值
对称轴x=
∴当x<125时，y随x的增大而增大
∴当x=100时，y最大=-2×1002+500×100+9000=39000
答：将这批槟榔芋贮藏100天后一次性出售最终可获得最大利润39000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，仔细审题是解题的关键
17．（1）1；（2）；；（3）5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
【分析】（1）根据图象可知3月份的单株售价为5元，单株成本为4元，从而求出结论；
（2）利用待定系数法即可求出单株售价与月份x之间的关系式；利用待定系数法即可求出单株成本与月份x之间的关系式；
（3）根据题意求出与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解】（1）从题图知，3月份的单株售价为5元，单株成本为4元，
∴单株获利为（元）．
故答案为1．
（2）设直线的关系式为．
把点代入上式得
解得
∴直线的关系式为．
设抛物线的关系式为．
把点代入上式得，
解得，
∴抛物线的关系式为．
故答案为；．
（3）．
∵，
∴当时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
18．（1）（x﹣60）；﹣2x+400；（2）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元；（3）a＝5．
【分析】（1）根据利润＝售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；
（2）根据月利润＝每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）根据题意得到函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量y与x的关系式为y＝kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴y＝﹣2x+400；
（2）由题意得，w＝（x﹣60）（﹣2x+400）
＝﹣2x2+520x﹣24000
＝﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣60﹣a）（﹣2x+400）＝﹣2x2+（520+2a）x﹣24000﹣400a，
∵对称轴x＝，
∴①当＜120时（舍），②当≥120时，x＝120时，w求最大值8800，
解得：a＝5．
【点睛】考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，求最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题关键理解题意，确定变量，建立函数模型．
19．（1）小华第12天生产的帽子数量为220顶；（2）当x＝14时，w有最大值，最大值为576元；（3）第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【分析】（1）把代入，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可
【详解】解：（1）若，则，与不符，
∴，
解得:，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）由图象得，
当时，；
当时，设，
把代入上式，得
，
解得， ，
∴
①时，
当时，w有最大值为（元）
②时，，当时，w有最大值，最大值为560（元）；
③时，
当时，w有最大值，最大值为576（元）．
综上，当时，w有最大值，最大值为576元．
（3）由（2）小题可知，，设第15天提价a元，由题意得
∴
∴
答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
20．（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】解：（1）当，即，
．
∴当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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