资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 跟踪练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的顶点坐标是 B．它的对称轴是轴
C．它的最大值是0 D．以上都不对
2．抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
3．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　)
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
4．已知点，都在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
5．若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（－2，－4） C．（－4，2） D．（4，－2）
6．当时，与的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数y＝m在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大，则m的值为（　　）
A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1
8．一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（ ）
A．最大值1 B．最大值－1 C．最小值2 D．最小值－2
二、填空题
9．已知二次函数y＝-x2，当x＞0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）；
10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为 ．
11．已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
12．当时，二次函数的最大值是 ，最小值是 ．
13．已知抛物线开口向上，且直线经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ．
14．已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
三、解答题
15．已知是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
16．函数与直线交于点
(1)求，的值；
(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
17．已知抛物线经过点．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
(3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标．
18．如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
19．已知抛物线经过点．
(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置；
(2)判断点是否在此抛物线上．
20．如图，已知二次函数的图象经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线上纵坐标等于3的点的坐标，并在图象上描出符合条件的点；
(3)求当在什么范围内时，．
21．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．

(1)求两个函数的解析式；
(2)求的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D A D C C
1．A
【分析】根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】图象的顶点坐标是，故选项A正确，
该函数图象关于轴对称，故选项B错误，
该函数图象开口向上，故存在最小值，故选项C错误，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．B
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】抛物线y＝2x2， y＝x2 开口向上，对称轴是对称轴是y轴，有最低点，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，y＝－2x2，开口向下，对称轴是对称轴是y轴，有最高点，在y轴的左侧，y随x的增大而增大，
故抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是对称轴是y轴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．A
【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
【详解】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解题的关键．
4．D
【分析】直接代入计算求出，，问题得解．
【详解】∵点，都在函数的图象上，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，细心计算是解答本题的关键．
5．A
【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得，
∴二次函数解析式为．
∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A．
6．D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，、则a、b同号，
当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
7．C
【分析】根据二次函数y＝m在在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大和二次函数的性质可以求得m的值．
【详解】解：∵二次函数y＝m在其图象对称轴右侧，y随x值的增大而增大，
∴，
解得，m＝1，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．C
【详解】由抛物线的开口向下，顶点坐标为（-1，2），根据二次函数的性质求解即可.
∵一条开口向上的抛物线，顶点坐标为（-1，2）
∴该抛物线有最小值2．
故选C．
9．减小
【分析】根据二次函数的解析式判断其开口方向以及对称轴，然后判断增减性即可．
【详解】解：∵二次函数y＝-x2的图像开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，根据二次函数的解析式得出其开口方向以及对称轴是解本题的关键．
10．m＞1
【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，
∴m－1＞0，
解得：m＞1．
故答案为m＞1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．增大．
【分析】根据二次函数的增减性可求得答案
【详解】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，开口方向向上，
∴当y随x的增大而增大，
故答案为增大.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
12． 4 0
【分析】利用二次函数图像找到范围内的图像变化规律，从而求解．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，
y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大．
∴当时，最小值是当x＝0时，y＝0；
当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4．
故答案为4；0．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．本题难度不大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值．
13．
【分析】由二次函数的性质与一次函数的性质可得从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
且直线经过第一、二、三象限，
∴
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的性质，同时考查了解不等式组，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口，则.
根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口，则.
所以．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键．
15．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.
【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；
（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；
（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．
【详解】(1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.
∴当k=±2时，原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．
16．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．
【详解】（1）解：把代入可得：
点的坐标为
把代入可得：
，；
（2）解：由（1）可得，
抛物线开口向下，且对称轴为轴，
当时，随的增大而增大．
17．(1)
(2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴
(3)，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据解析式写出顶点坐标与对称轴，即可求解；
（3）把代入，解方程，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，∴，
∴此抛物线对应的函数解析式为．
（2）由题可得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴；
（3）把代入得，
，解得，
∴此抛物线上纵坐标为的点的坐标为，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握的性质是解题的关键．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件，可得结果；
（2）把一次函数与二次函数联立方程组得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理计算即可；
【详解】（1）∵直线过点，
∴．
（2）∵，
∴直线的解析式为，
由得，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的结合，利用韦达定理进行计算是解题的关键．
19．(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点
(2)点不在此抛物线上
【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答．
（2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴此抛物线对应的函数解析式为．
∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点；
（2）解：把代入得，，
∴点不在此抛物线上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上．
20．(1)
(2)或
(3)当时，
【分析】(1)把已知坐标代入解析式计算即可．
(2)令函数值等于3，解方程计算即可．
（3）利用数形结合思想解答即可．
【详解】（1）把代入解析式得，
解得：，
则抛物线的解析式是．
（2）当时，
，
解得：或，
则纵坐标是3的点是或，

（3）由（2）得当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据函数值求坐标，数形结合思想求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．(1)，
(2)3
【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可；
（2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可．
【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，
二次函数的解析式；
点代入二次函数解析式得，
把点，代入一次函数得
，
解得，
故一次函数的解析式．
（2）一次函数的解析式中，令，得，
∴一次函数与轴交于点，
∴．
【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑