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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 跟踪练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函数有最大值，则a，b的大小比较为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．关于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，y有最大值3 B．当时，y有最大值3
C．当时，y有最小值3 D．当时，y有最小值3
4．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线
C．图象顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
5．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的对称轴是（　　）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3
6．若抛物线的开口向下，顶点是，随的增大而减小，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、填空题
7．当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为 ．
8．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ．
9．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 .
10．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ．
11．已知抛物线，当 时，随的增大而增大．
12．已知点在抛物线上（是实数），有以下说法：
①无论取何实数，的值都小于0；
②无论取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上运动；
③无法确定的值，值随的变化而变化；
④有最大值，其最大值为15；
正确的结论有 ．
13．二次函数，当 时，函数值可取最小值为 ．
三、解答题
14．已知抛物线．
(1)其开口方向为____________．
(2)顶点坐标为______________．
(3)当x___________时，y随x的增大而增大．
(4)最______（填“大”或“小”）为________．
15．若二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x≤1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
16．解答题
(1)解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）；
(2)求抛物线y＝﹣2x2+6x+1的顶点坐标．
17．已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
18．已知二次函数，当时，求函数y的取值范围．嘉琪同学的解答如下：
解： 当时，则； 当时，则； 所以函数y的取值范围为．
判断嘉琪的解答是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．
19．已知：二次函数的表达式
（1）用配方法将其化为的形式；
（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质.
20．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
21．已知抛物线y=（b<0）的图像的顶点为M，与y轴交于点A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与抛物线另交于点B（6，8）.
（1）求线段AN的长；
（3）平移该抛物线得到一条新抛物线.设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB，求新抛物线对应的函数表达式.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B C B A C
1．D
【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线解析式为，当时，y取最大值，最大值是5，
∴二次函数图象的顶点坐标是．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．
2．B
【分析】根据二次函数y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值，得出a的符号和b的值，即可比较出a，b的大小．
【详解】解：∵y=a（x-1）2+b有最大值，
∴抛物线开口向下a＜0，b=，
∴a＜b．
故选B．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，关键是通过二次函数的顶点式和二次函数的性质得出a的符号和b的值，是一道好题．
3．C
【分析】是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是．
【详解】∵二次函数，
∵，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∴当时，有最小值3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
4．B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小，
观察四个选项，选项B符合题意．
故选：B．
5．A
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．
【详解】∵y＝2（x 1）2＋3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x＝1，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．先根据抛物线的顶点坐标得到对称轴，再结合开口方向和增减性可求出的范围．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
对称轴为直线，
又开口向下，函数随自变量的增大而减小，
．
故选：．
7．4
【分析】先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．
【详解】解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，
函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，
当函数值都随着x的增大而减小，
则x≥4，即m的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
8．或
【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案．
【详解】解：设该抛物线解析式为，
∵抛物线的形状与的形状相同，
∴，
∴该抛物线解析式为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数相同．
9．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵A（-4，y1），B（-3，y2），C（3，y3），
∴点A到对称轴的距离是2个单位，
点B到对称轴的距离是1个单位，
点C到对称轴的距离是5个单位，
∴点C离直线x=-2最远，点B离直线x=-2最近，
∵a＜0,
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
10．/
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：，
顶点的坐标为，
令，则，
的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：．
12．②④/④②
【分析】根据抛物线解析式得出顶点坐标，可得抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误；根据顶点坐标得出抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确；根据抛物线的对称轴求出，可得③错误；由得出，然后得出c关于m的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出有最大值为15，则④正确．
【详解】解：①∵，
∴顶点坐标为，
∴抛物线的最大值为，不能得出的值都小于0，①错误；
②由①得顶点坐标为，
∵，
∴抛物线的顶点始终在直线上运动，②正确；
③∵点在抛物线上，
∴对称轴为直线：，
∴，③错误；
④∵，
∴，
∴，
∴，即有最大值为15，④正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
13． 3
【分析】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k），最值即为顶点纵坐标，即可完成.
【详解】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k），
∴二次函数，顶点坐标为，
∴当时，函数值可取最小值为3
故答案为；3
【点睛】本题考查二次函数顶点式求顶点坐标和最值，难度较低，属于基础知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.
14．(1)向上
(2)
(3)
(4)小，
【分析】（1）根据，即可判断开口方向向上；
（2）根据顶点式的顶点坐标为求解即可；
（3）根据开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大解答即可；
（4）根据开口向上，顶点的纵坐标为函数的最小值，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴其开口方向向上，
故答案为：向上；
（2）解：∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵开口向上，且对称轴为
∴当时，y随x的增大而增大；
故答案为：；
（4）解：∵，开口向上，顶点坐标为，
∴函数有最小值，最小值为，
故答案为：小，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．在自变量的所有取值中：当时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．
15．m≥1
【分析】由题意易得二次函数的图像开口向上，然后结合二次函数的增减性及题意可进行求解．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1中，a＝1＞0，
∴此函数图象开口向上，
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴x＝m≥1，
∴m的取值范围为：m≥1．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
16．(1)或
(2)
【分析】（1）通过因式分解法求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】（1）解：∵ 2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴ 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
∴（2﹣3x）（x﹣3）＝0，
解得或．
（2）解：∵ y＝﹣2x2+6x+1＝﹣2（x2﹣3x）+1＝，
∴ 抛物线顶点坐标为（，）．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法求二次函数顶点坐标，解题的关键是选择合适的解一元二次方程方法及熟练掌握配方法的步骤．
17．(1)
(2)此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【分析】（1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式．
（2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为
∵ 图像经过（-2，5）
∴ 5=
∴
（2）解：令y=0，即=0
解得：x=3或x=-1
故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质．
18．×，见解析
【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当时和当时的函数值，即可解答．
【详解】解：嘉琪的解答不正确．故在方框内打“×”；
正确的解答过程为：
由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴当时，y取得最小值，此时，
当时，y取得最大值，此时，
∴当时，函数y的取值范围为．
19．(1) ；（2）详见解析；
【分析】（1）根据配方法求解可得；
（2）画出函数图象，结合函数图象写出符合图象的函数性质即可得．
【详解】(1)
(2)画出图象如图：
由图知，当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，考查了根据函数解析式得出顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了增减性和数形结合思想的应用．
20．（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
21．（1）.（2）答案见解析.
【分析】（1）根据点的坐标先求出函数解析式，再求出A点和N点（2）根据抛物线的平移先设解析式，求出点的坐标，再求抛物线的解析式.
【详解】解：（1）直线与抛物线y=相交于A点和B点
已知点B（6,8），将点B带入直线解析式中得：
直线解析式为
点坐标（-2,0），点坐标（0,2）
（2）由（1）知，点坐标（0,2），点B（6,8）
带入抛物线解析式中得：
抛物线解析式为y=
当y等于0时得：
顶点M的坐标为（2,0）
设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB
经过MM’的直线解析式为
设新抛物线函数解析式为
经过MM’的直线解析式为
新抛物线的函数表达式为：或.
【点睛】此题重点考查学生对抛物线的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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