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22.1.4y=ax2+bx+c的图象与性质课 跟踪练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列抛物线开口朝上的是（ ）
A． B． C． D．
2．若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得新抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A．B．
C．D．
5．若二次函数的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．将抛物线＝（x+1）2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（　　）
A． B．y＝
C．y＝ D．
7．设二次函数（m为实数）的图象过点，设，下列结论正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
8．已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为 B．图象开口向下
C．图象与轴有两个交点 D．当时，随的增大而减小
9．已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④当时，，⑤函数在与处的函数值相等，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图所示，抛物线与轴交于点、，对称轴与此抛物线交于点，与轴交于点，在对称轴上取点，使，连接、、、，某同学根据图象写出下列结论：①；②当时，；③四边形是菱形；④．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是 ．
12．抛物线开口方向是 ．
13．关于函数，当时，该函数的顶点坐标为 ．
14．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为 ．
15．如图，点P是某个函数图象上的一点，请你写出一个符合条件的函数关系式 ．
16．已知函数y＝x2﹣2mx+2015（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1＝m﹣，x2＝m+，x3＝m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
17．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别相交于点A、B，四边形是正方形，抛物线过C，D两点，且C为顶点，则a的值为 .
三、解答题
19．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，求抛物线的解析式．
20．如图，在直角坐标系中，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
21．已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
22．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
23．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B C C D B C
1．A
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由表达式判断抛物线开口方向：当时，抛物线开口方向向上；当时，抛物线开口方向向下；逐项验证即可得到答案，熟记的正负与抛物线开口方向的关系是解决问题的关键．
【详解】解：A、中，抛物线开口方向向上，符合题意；
B、中，抛物线开口方向向下，不符合题意；
C、是一次函数，不是抛物线，不符合题意；
D、中，抛物线开口方向向下，不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出，，，比较大小即可．
【详解】解：、、三点都在函数的图象上，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解题的关键，本题也可以根据各点到对称轴的距离判断．
3．C
【分析】根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，即可得出答案．
【详解】解：由将抛物线y=3x2+2向右平移1个单位，得
y=3（x-1）2+2，
顶点坐标为（1，2），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
4．A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质逐项判断即可．
【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意．
B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意．
C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意．
D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数逐项判断，即可得出正确答案．
【详解】解：由图可知，二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
，，，
，
又 二次函数的图象与x轴有两个交点，
，
观察四个选项，只有B选项符合条件，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
6．C
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，﹣2）
∴所得抛物线解析式是y＝（x﹣2）2﹣2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
7．C
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解一元一次不等式组，先将点代入函数解析式，进而求出的值，再根据题干给的条件，列出不等式组，求解后逐一进行判断即可．
【详解】解：将代入得．
将代入得，
将代入得，
将代入得，
∴，
，
∴；
若，且，则，且，
∴，
解得，
若，且，则，且，
∴，
解得，
若，且，则，
∴，
解得，
若，且，则，
∴，
解得，
故选：C．
8．D
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，
∴，
将(0，5)代入得，
解得，
∴，故选项A不符合题意；
∵a=1>0，
∴图象开口向上，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，
∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；
∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，
∴时，随增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
9．B
【分析】根据二次函数与x轴有两个不同的交点，即可判断①；根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，抛物线对称轴为直线x=1，得到，，，即可判断②；根据当时，，即可判断③；由函数图象可知当时，即可判断④；根据对称性即可判断⑤；
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴，故①正确；
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，抛物线对称轴为直线x=1，
∴，，，
∴，
∴，故②错误；
∵当时，，
∴，故③正确；
由函数图象可知当时，，故④正确；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数在与处的函数值相等，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系等等，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质．
10．C
【分析】由抛物线与轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为，由此即可得出，正确；根据抛物线的开口向下以及抛物线与轴的两交点坐标，即可得出当时，，正确；由关于对称，即可得出，再结合以及，即可得出四边形是菱形，正确；根据当时，，即可得出，错误．综上即可得出结论．
【详解】解：抛物线与轴交于点、，
该抛物线的对称轴为，
，，正确；
抛物线开口向下，且抛物线与轴交于点、，
当时，，正确；
点、关于对称，
，
又，且，
四边形是菱形，正确；
当时，，
即，错误．
综上可知：正确的结论为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
11．（﹣1，﹣2）
【分析】已知抛物线为解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为y=﹣2（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
12．向下
【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的开口方向．
【详解】解：∵抛物线，a＝﹣3＜0，
∴该抛物线的开口向下，
故答案为：向下．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．，
【分析】把代入求得解析式，利用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：当时，函数解析式为，
，
顶点坐标是，．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，把一般式化为顶点式是关键．
14．
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为：
故答案为：或
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，确定平移前后抛物线的定点坐标，寻找平移规律是解题的关键
15．y=x2-x+1(答案不唯一)
【分析】以点P的横纵坐标分别作为自变量和因变量构造函数关系式即可．
【详解】∵点P（n，n2-n+1），
∴符合条件的函数关系式为y=x2-x+1，
故答案为y=x2-x+1．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的图像上点的特征是解题的关键．
16．y3＜y1＜y2．
【分析】对函数y＝x2 2mx＋2015，对称轴x＝m，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【详解】在二次函数y＝x2﹣2mx+2015，对称轴x＝m，
在图象上的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
|m﹣1﹣m|＜|m﹣﹣m|＜|m+﹣m|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
17．一
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与y轴的交点位置得，所以，然后根据第一象限点的坐标特征判断点所在象限．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴．
∵对称轴在y轴左侧，
∴
∴，
∴，
∵图象与y轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，
∴点在第一象限．
故答案为：一
18．
【分析】如图作于N，于M，与交于点F，利用三角形全等，求出点C、点D和点F坐标即可解决问题．
【详解】解：如图，作于N，于M，与交于点F.
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点，点，
∵四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
同理可以得到：，，
∴点，，，
把，代入得：
，
解得：，
为顶点，
∴，即 ，
解得：.
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
19．
【分析】待定系数法求解析式即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查已知两点坐标求抛物线解析式．熟练掌握待定系数法求解析式，正确的计算，是解题的关键．
20．（1）y=- （2）31
【详解】分析：（1）先利用一次函数解析式确定A（0，4），B（8，0），再设交点式y=a（x+2）（x-8），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用配方法得到y=-（x-3）2+，则M（3，），作MD⊥x轴于D，如图，然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM进行计算即可．
详解：
（1）当x=0时，y=- x+4=4，则A（0，4），
当y=0时，- x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a 2 （﹣8）=4，解得x=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8），
即y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，
∴M（3，），
作MD⊥x轴于D，如图，
四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM
=×（4+）×3+×5×
=31．
点睛：考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3时，y有最大值为6
(3)m＝－2或
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶
，解得：；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为-3，
当x＝m时，y有最大值为，
∴+（-3）＝2，
∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x＝-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴=-4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝-2或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标（，）．
【分析】（1）因为对称轴是直线x=-1，所以得到点A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴，
当时，，，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
23．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
（2）解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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