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22.2 二次函数与一元二次方程 跟踪练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
2．点P(m，n)在抛物线上，针对n的不同取值，所找点P的个数，以下说法：①若n＝﹣2，则点P的个数为0；②若n＝﹣1，则点P的个数为1；③若n＝4，则点P的个数为0．以上说法正确的是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．开口向下的拋物线（a，b，c为常数，）与x轴的负半轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①．；②函数的最大值为；③若关于x的方程无实数根，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… 4 4 m 0 ……
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；②m＝；③当﹣4＜x＜2时，y＜0；④方程ax2+bx+c﹣4＝0的两根分别是x1＝﹣2，x2＝0，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．20
6．如果关于二次函数与x轴有公共点，那么m的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②当时，；③若，且，则；④．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）．
… …
… …
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点
9．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交．则下列关于、的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于题目：抛物线和一段直线，有唯一公共点，试确定所有的a的值，甲的结果是：，乙的结果是：丙的结果是：，则（ ）
A．甲、乙合在一起的结果正确 B．乙、丙合在一起的结果正确
C．甲、乙、丙的结果合在一起也不正确 D．甲、乙、丙的结果合在一起才正确
二、填空题
11．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
12．利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数 的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为 ， ．
13．抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则一元二次方程的解为 ．
14．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝ ．
15．若抛物线与直线没有交点，则c的取值范围是 ．
16．定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，则a的取值范围是 ．
17．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是
18．已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为
三、解答题
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于 C．

(1)求点A、点C的坐标:
(2)作轴交抛物线于D，连接，，求的面积
20．如图，已知抛物线经过点．

(1)求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
21．【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为轴于点，它与轴交于点，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
(1)【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点（点在点右侧）抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
(2)【应用】如图3是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比．
22．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的顶点、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，二次函数的图象经过、两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当时，的取值范围．
23．已知抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)求的面积．
24．已知二次函数的表达式为．
(1)将其化成的形式；
(2)求图象与两坐标轴交点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中画出图象；
(4)观察图象，当_________时，随的增大而减小；
(5)观察图象，当时，直接写出的取值范围：_________．
25．如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．

(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集．
26．已知二次函数．
(1)若二次函数的图象经过点，求t的值；
(2)当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）；
(3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C A C C B B C
1．A
【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解．
【详解】解：依题意，函数与的函数图象如图所示，
根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，
故选:A．
【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．
2．B
【分析】分别把(m，n)代入抛物线中，得到关于m的一元二次方程，然后根据判别式的意义判断根的情况，进而可得点P的个数．
【详解】解：当n＝﹣2时，即，
整理得：，
∵，
∴方程没有实数根，即此时点P的个数为0，故①的说法正确；
当n＝﹣1时，即，
整理得：，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，即此时点P的个数为1，故②的说法正确；
当n＝4时，即，
整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，即此时点P的个数为2，故③的说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程根的判别式的意义，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
3．C
【分析】根据抛物线开口向下得到，根据抛物线对称轴为直线得到，抛物线与x轴的正半轴交于点，则当时，，即可推出，即可判定①；由抛物线的性质可得当时，，函数取最大值，由此即可判断②；利用根的判别式得到，解不等式即可判断③．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与x轴的负半轴交于点，对称轴为直线，
∴，抛物线与x轴的正半轴交于点，
∴；
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，函数取最大值，
∴函数的最大值为，故②正确；
把方程变形为：，要使方程无实数根，则，
将，，代入得：，
∵，
∴，则，
∴，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
4．C
【分析】①根据表格中x与y的对应值和函数的对称性，可得出函数的对称轴；
②函数的对称轴为：x=-1，则m和对应，即可求解；
③当x=2时y=0，根据函数的对称性，x=-4，y=0，而当-4＜x＜2时，y＞0，即可求解；
④方程ax2+bx+c-4=0的两根，就是y=ax2+bx+c和y=4的两图像的交点的横坐标，即可求解．
【详解】解：①根据表格可得，函数的对称轴为：x=-1，此时y=，故①符合题意；
②函数的对称轴为：x=-1，则m和对应，故②符合题意；
③∵x=2，y=0，∴根据函数的对称性，x=-4，y=0，∴当-4＜x＜2时，y＞0，故③不符合题意；
④∵ax2+bx+c-4=0，∴ax2+bx+c=4∴方程ax2+bx+c-4=0的两根，就是y=ax2+bx+c和y=4的两图像的交点的横坐标∴x1＝﹣2，x2＝0，故④符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
5．A
【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案．
【详解】解：抛物线与一次函数交于两点，
联立，消元得，
，
故选：A
【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据函数图象与x轴的交点个数和b2-4ac的符号之间的关系解决问题.
【详解】解：∵二次函数与x轴有公共点
∴=0时b2-4ac≥0
∴(-1)2-4×1×()≥0
∴
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系.
7．C
【分析】可以根据开口向下判断，根据抛物线与y轴的交点位置判断，然后再根据对称轴的位置判断出a，b异号，因此，最后根据对称轴的位置，抛物线与x轴的交点情况进行推理，进而解出此题．
【详解】解：抛物线开口向下判断，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴判断，
抛物线对称轴在y轴右侧，得到a，b异号，故，
故①错误；
根据图像可得，当时，函数取得最大值，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
当时，，
抛物线对称轴为，
与时，函数值相等，
根据图像可得，当时，，
，
故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查图像与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上
则该二次函数的图像与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧
故选B.
【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.
9．B
【分析】由二次函数的图象与轴交于点、，可得，由抛物线与y轴负半轴相交，可知，时，抛物线开口向上，另一根利用函数值得不等式组解不等式得；可得满足的条件是．
【详解】二次函数的图象与轴交于点、，
∴，
∴，
由抛物线与y轴负半轴相交，、，
∴
由，抛物线开口向上，
∵另一根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴满足的条件是，
故选择：B．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解不等式组，掌握二次函数的性质，会利用函数值的特征组成不等式组是解题关键．
10．C
【分析】由题意易得，则有且，进而可分类讨论①当时，，成立，②当时，，③当，令，④当时，令，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线和一段直线，有唯一公共点，可得：
，即，
∴，且，
∴且，
①当时，，成立，
②当时，，
③当，令，
∴该抛物线的对称轴为直线＞4，由二次函数的性质可得在上y随x的增大而减小，
∵当x=-2时，，当x=3时，，
∴当y=0时在上有唯一的解；
④当时，令，
∴该抛物线的对称轴为直线，
当时，即，则由二次函数的性质可得在上y随x的增大而减小，
∴当x=-2时，，当x=3时，，
∴当y=0时在上有唯一的解；
当时，即，则由二次函数的性质可得y的最大值为当时，即，
∵当x=-2时，，当x=3时，，
要满足当y=0时，只有一个解时，则需满足，
∴，
综上所述：a的所有可能的值为，
∴甲、乙、丙结果合起来也不正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及与不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质及与不等式的关系是解题的关键．
11．－1＜x＜3．
【分析】根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，从而得出x的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，
∴图象与x轴交在（－1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：－1＜x＜3．
故答案为：－1＜x＜3．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解．根据函数图象得到它与轴的交点的横坐标大约是，，即可求解．
【详解】解：利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数的图象，
∵它与轴的交点的横坐标大约是，，
∴方程的实数根为，．
故答案为：；；
13．
【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解．根据对称性可求出与轴的另一个交点坐标为，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴与轴的另一个交点坐标为，
∴一元二次方程的解为．
故答案为：
14．1
【详解】∵物线 与x轴交点的横坐标为-1，
∴a-1+c=0，
∴a+c=1，
故答案为1.
15．
【分析】根据抛物线与直线没有交点，可得它们组成的方程组无解即可求得c的取值范围．
【详解】解：∵物线与直线没有交点，
∴消去得，没有实数根，
即没有实数根，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，理解两个函数没有公共点的意义是解题的关键．
16．
【分析】如图所示，，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间不含点，即可求解．
【详解】解：，
故抛物线的顶点为：；
抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”，
∴，如图所示，图象实心点为8个“整点”，
则符合条件的抛物线过点和点上方，并经过点和点下方，
当抛物线过点上方时，，解得： ；
当抛物线过点上方时，，解得： ；
当抛物线过点下方时，，解得： ；
当抛物线过点下方时，，解得： ；
∵四个条件同时成立，∴
故答案为：．
【点睛】本题考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围．找出包含“整点”的位置，利用数形结合的数学思想是解题的关键，难度较大．
17．
【分析】先根据抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点建立方程组，用含有a的代数式来表示b和c，之后直接将代数式代入方程即可整理求解．
【详解】解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，
∴ ，
①+②×2可得：6a+3c=0，
，
①-②可得：，
，
a(x－3)2＋c＝a(x－3)2－2a=3b－bx=3a－ax，
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
18．0或-3
【分析】求关于的方程的根，其实就是求在二次函数中，当 y=4时x的值，据此可解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4），
∴当x=0或-3时，y=4,即=4，即=0
∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x1=0，x2=-3．
故答案为：x1=0，x2=-3．
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．
19．(1)、
(2)的面积是6
【分析】（1）根据待定系数法代入坐标求解即可；
（2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）抛物线解析式为，
当时，，故，
当时，，解得或2
故，
∴、；
（2）令，则，
解得，，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数待定系数法求坐标，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．(1)抛物线的顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．
（1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【详解】（1）把代入得：
，
解得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当时，或，
∴当时，x的取值范围是或．
21．(1)9；6；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据待定系数法求解析式及二次函数的图像和性质是解题即可．
（1）根据求得矢高和跨径的值，结合给定的矢跨比的定义，即可求解；
（2）依题意建立坐标系，设根据主跨的矢跨比为和跨径为420米，求得主跨抛物线表达式为根据题意设可得边跨的抛物线与x轴交和，可求得边跨抛物线表达式为进一步求得顶点坐标，即可求得边跨的矢跨比．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为，
抛物线的顶点到轴的距离是9，
拋物线关于轴的矢高是9，
在中，当时，，
解得，
，
抛物线关于轴的跨径是6，
矢跨比是；
（2）设以主跨的对称轴为y轴的坐标系，如图，
依题意主跨的矢跨比为，设矢高是a，则跨径是，设主跨的抛物线表达式为
∵主跨的跨径为420米，
∴，解得，
∵根据跨径为420，抛物线与x轴交点，
∴，解得，
则主跨的抛物线表达式为
∵主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，
∴设边跨的抛物线表达式为
∵边跨的跨径为280米，
∴边跨的抛物线与x轴交和，
∴，解得，
则边跨的抛物线表达式为
即其顶点坐标为，
边跨的矢跨比为，
22．（1）；（2）当或时，
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数与不等式，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式．
（1）把，代入得方程组，解出，的值，即可求出二次函数的解析式，
（2）令，解得的值，结合图象可知即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意得，代入得
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）令，
得，
解得，，
结合图象可知：
当或时，．
23．(1)
(2)点，点
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合．
（1）将点和点代入即可求出解析式；
（2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标；
（3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可．
【详解】（1）解：把点和点代入得
解得，
所以抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得，
解得，
∵点A在点B的左边，
∴点，点．
（3）解：连接，
由题意得，
24．(1)；
(2)图象与两坐标轴交点的坐标为；
(3)图象见解析；
(4)；
(5)．
【分析】（1）利用配方法化顶点式即可得解；
（2）求与x轴的交点，把 代入函数解析即可求出与x轴的交点，把代入函数解析式即可求出与y轴的交点；
（3）先列出表表格，再画出函数图象即可；
（4）观察图象，即可求解；
（5）观察图象，即可求解．
【详解】（1）解： ；
∴将化为顶点式为；
（2）解：对于，令 ，则，
∴ ，
∴方程没有实数解，
∴二次函数的图象与x轴没有交点；
令 ，则 ，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∴图象与两坐标轴交点的坐标为；
（3）解：列表得，
0 1
3 1 3
描点并连线得，
（4）解：由图象可知，当 时， y随x的增大而减小，
故答案为∶；
（5）解：观察图象，当 时，直接写出y的取值范围，
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
25．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．
（1）先将点代入，再将对称轴直线代入公式即可得出和的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和、的交点坐标可直接求出的解集．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
二次函数图象的对称轴直线，
，
，，
二次函数的解析式为；
，
点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，
，
设一次函数代解析式为，
，
，
一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可得，不等式的解集或．
26．(1)
(2)若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键．
（1）把代入二次函数解析式，解方程即得；
（2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答；
（3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得．
【详解】（1）∵经过点，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线，
①若，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最小值，为3；
②若，
∴当时，y取得最小值，为;
③若，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，即．
综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为．
（3）由（2）知，当时，y取最小值，解得，．
，
．
由题意，可知为一元二次方程的两个根．
由韦达定理，得，
．
当时，y取得最小值，即，解得，，不合．
综上，．
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