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广东省惠州市惠城区2024-2025学年八年级数学上学期数学期中 试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．（2024八上·惠城期中）在以下标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可作答．
2．（2024八上·惠城期中）制作一直角三角板，下列长度可以采用的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴这三个长度不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴这三个长度可以构成直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴这三个长度不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴这三个长度不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
本题根据勾股定理的逆运算，对各个选项运算判断是否可以构成直角三角形。
3．（2024八上·惠城期中）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可．
【解答】当底角为80°时，则它的底角度数为80°；
当顶角为80°时，则其底角为：
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉．
4．（2024八上·惠城期中）如图所示，等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：是的内角，是的内角，
，
故答案为：A．
【分析】
是的内角，是的内角，通过三角形内角和定理可得 =180°+180°=360°。
5．（2024八上·惠城期中）如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（　　）
A． B．
C． D．以上都不可以
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A.，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误；
B.，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误；
C.，，，符合全等三角形的判定，故该选项正确；
故答案为：C．
【分析】
根据全等三角形的判定定理对各个选项进行逐项分析即可。
6．（2024八上·惠城期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，只能说明是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，，只能说明是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，故C选项符合题意；
D、，，只能说明是等腰三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）对各个选项进行判断即可．
7．（2024八上·惠城期中）如图，作中边的垂直平分线的周长为，则的周长是（　　）
A．20 B．16 C．15 D．21
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分线段，，，
的周长为，
，
，
∵
，
即的周长是．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再根据即可求出的周长．
8．（2024八上·惠城期中）用下面方法作的平分线，连接，哪个判定方法可以解释其作图原理（　　）
A．角角边 B．边角边 C．角角边 D．边边边
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，
由题意知，，
，
，
，
即是的角平分线，
故答案为：D．
【分析】
利用尺规作图作一P点，连接，根据作图步骤知，根据三角形全等的判定可证明，由此得到答案．
9．（2024八上·惠城期中）如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
由折叠性质得，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
利用三角形内角和定理可得，再由由折叠性质得，，然后利用平角定义即可．
10．（2024八上·惠城期中）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是　　
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
故选：．
【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS，SSS，AAS）和全等三角形的性质对①②③④进行分析即可。
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．（2024八上·惠城期中）等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为　 　．
【答案】19或17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：根据题意，
①当腰长为7时，底为5，此时可以构成三角形，
∴周长；
②当腰长为5时，底为7， 此时可以构成三角形，
∴周长；
∴等腰三角形的周长为19或17，
故答案为：19或17．
【分析】
本题分两种情况：①根据三角形三边关系可知，当腰长为7时，底为5，此时可构成三角形，且周长为19②根据三角形三边关系可知，当腰长为5时，底为7，此时可构成三角形，且周长为17。．
12．（2024八上·惠城期中）已知点与点关于y轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于y轴对称，
∴
则，
∴
故答案为：．
【分析】通过点A与点B关于y轴对称可列出等式，计算即可求出， 代入3a-2b后即可得出答案。
13．（2024八上·惠城期中）如图，已知是等边三角形，且，点G、D、F分别为、的中点，则　 　度．
【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵，点G、D、F分别为、的中点，∴，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：15．
【分析】由题示条件可以得出，，再由三角形的外角的性质得出，，从而得出，进一步推导即可．
14．（2024八上·惠城期中）如图，在中，是高，则　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
15．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，F是上一点，连接，交于点E，且，若，，则求的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解： 如图， 延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：.
【分析】
延长到使，连接 后得到，根据全等三角形的性质得到角边的关系后，进一步推导可得，在等腰三角形BGE中通过等腰三角形的性质得到，推导角的关系即可得到，根据题给条件利用三角形内角和计算出∠ADC和∠BED的值后进一步计算即可得到∠FBC的值 ．
三、解答题（16、17、18题每题7分，19、20、21题每题10分，22、23每题12分，共计75分，解答题要有必要的文字说明）
16．（2024八上·惠城期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，．
（1）求证；
（2）如果，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，，∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可得；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可．
（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
17．（2024八上·惠城期中）如图，已知的面积为是的平分线，且，求阴影部分的面积．
【答案】解：延长交于点，如图所示．
∵是的平分线，且，
∴，
∵，
∴，
．，
和等底同高，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示．
∵是的平分线，且，
∴，
∵，
∴，
．，
和等底同高，
，
【分析】延长交于点，由角平分线的定义可知，进一步证得，进而可得出，根据三角形的面积即可得出，再根据即可得出结论．
18．（2024八上·惠城期中）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点N，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【分析】（1）以线段的一个端点A为圆心，以大于线段AB长度一半的长为半径画弧（半径必须大于一半，否则两弧无法相交）。保持圆规半径不变，以另一个端点B为圆心画弧，此时两弧会在线段AB的两侧各产生一个交点。用直尺连接两个交点C和D，直线CD即为线段AB的垂直平分线。（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案．
（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
19．（2024八上·惠城期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点．
（1）求证：为的平分线．
（2）求证：．
【答案】（1）证明：如图，过点作，，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
，，
为的平分线
（2）解：是的外角，是的外角，
，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
为的平分线，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）证明：如图，过点作，，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
，，
为的平分线
（2）
解：是的外角，是的外角，
，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
为的平分线，
，
．
【分析】（1）过点作，，，根据角平分线的性质得到PD=PE，PF=PE，进而得出，根据角平分的判定即可证明结论；
（2）由三角形外角的性质，可得， 根据角平分线的性质可得到，，进而得到，再结合，即可证明．
（1）证明：如图，过点作，，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
，，
为的平分线；
（2）解：是的外角，是的外角，
，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
为的平分线，
，
．
20．（2024八上·惠城期中）如图，网格中小正方形的边长为1，
（1）画出关于y轴对称的（其中分别为A、B、C的对应点）；
（2）的面积为　 　；点B到边的距离为　 　；
（3）在x轴上是否存在一点M，使得最小，若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明原因．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）4；
（3）解：存在，．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
（2）
解：依题意，，
∴的面积为；
设点B到边的距离为，
则，
故
解得
故答案为：4，
（3）
解：存在，过程如下：
如图，作点关于轴的对称点，再连接交轴于一点，即为点M，
此时的最小值，且，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据轴对称的性质画出后，再依次连接，即可得出．
（2）的面积可以视为一个长方形减去三个三角形，运用割补法计算后得到面积为；再运用勾股定理列式，最后运用等面积法列式计算即可．
（3）根据轴对称的性质画出点，再连接交轴于一点，即为点M，得出此时的最小值，且，运用勾股定理计算得．
（1）解：如图所示：
（2）解：依题意，，
∴的面积为；
设点B到边的距离为，
则，
故
解得
故答案为：4，；
（3）解：存在，过程如下：
如图，作点关于轴的对称点，再连接交轴于一点，即为点M，
此时的最小值，且，
∴，
∴．
21．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，为上一个动点．
（1）当，时，求的度数．
（2）已知，求证：
【答案】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：
如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
【分析】
（1）设，可以用含x的式子表示，由可知，因此也可以用含x的式子表示，根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）延长到点E，使，连接，由可推得BC为AE的垂直平分线得到，通过角的关系可推导出，因此，进而即可证明结论．
（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即；
（2）如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
22．（2024八上·惠城期中）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．
（1）如图1，若，为何值时；
（2）如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
【答案】（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
．
由题意可知：，
则，
．
∴当的值为3时，．
（2）解：如图2，①当点在边上时
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，
则．
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
．
由题意可知：，
则，
．
∴当的值为3时，．
（2）
解：如图2，①当点在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，
则．
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
【分析】
（1）由等边三角形和平行线的性质得，，根据等边三角形的判定进而得出是等边三角形，列方程求解即可；
（2）根据的位置需分两类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
．
由题意可知：，
则，
．
∴当的值为3时，．
（2）解：如图2，①当点在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，
则．
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
23．（2024八上·惠城期中）如图，中，，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①，若点C的坐标是，点A的坐标是，求B点的坐标；
（2）如图②，若y轴恰好平分，与y轴交与点D，过点A作轴于E，证明：．
（3）如图③，点B在y轴正半轴运动，点C在x轴正半轴运动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，猜想之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：过点A作，如图，则，
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，，又，
∴，
∴，
即点B的坐标为；
（2）证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，又轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．证明：作轴于E，如图，
∵轴，轴，
∴，，
∵，又直角顶点C在x轴上，
∴，，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：过点A作，如图，则，
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，，又，
∴，
∴，
即点B的坐标为；
（2）
证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，又轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：．
证明：作轴于E，如图，
∵轴，轴，
∴，，
∵，又直角顶点C在x轴上，
∴，，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】
（1）过点A作轴于D，结合图像可得，，结合可证明得到，进而可求解；
（2）作的延长线交的延长线于点F，证得△ABC是等腰直角三角形后，通过推导角的关系可证明得到，再证明得到，进而可求解；
（3）作轴于E，由图可知，推导角的关系得到 后可证明得到，进而可得结论．
（1）解：过点A作，如图，则，
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，，又，
∴，
∴，
即点B的坐标为；
（2）证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，又轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：作轴于E，如图，
∵轴，轴，
∴，，
∵，又直角顶点C在x轴上，
∴，，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1广东省惠州市惠城区2024-2025学年八年级数学上学期数学期中 试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．（2024八上·惠城期中）在以下标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·惠城期中）制作一直角三角板，下列长度可以采用的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·惠城期中）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
4．（2024八上·惠城期中）如图所示，等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·惠城期中）如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（　　）
A． B．
C． D．以上都不可以
6．（2024八上·惠城期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·惠城期中）如图，作中边的垂直平分线的周长为，则的周长是（　　）
A．20 B．16 C．15 D．21
8．（2024八上·惠城期中）用下面方法作的平分线，连接，哪个判定方法可以解释其作图原理（　　）
A．角角边 B．边角边 C．角角边 D．边边边
9．（2024八上·惠城期中）如图，把的往内部折叠，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·惠城期中）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是　　
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每小题3分，满分15分）
11．（2024八上·惠城期中）等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为　 　．
12．（2024八上·惠城期中）已知点与点关于y轴对称，则　 　．
13．（2024八上·惠城期中）如图，已知是等边三角形，且，点G、D、F分别为、的中点，则　 　度．
14．（2024八上·惠城期中）如图，在中，是高，则　 　．
15．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，F是上一点，连接，交于点E，且，若，，则求的度数为　 　．
三、解答题（16、17、18题每题7分，19、20、21题每题10分，22、23每题12分，共计75分，解答题要有必要的文字说明）
16．（2024八上·惠城期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，．
（1）求证；
（2）如果，，求的面积．
17．（2024八上·惠城期中）如图，已知的面积为是的平分线，且，求阴影部分的面积．
18．（2024八上·惠城期中）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点N，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，，求的长．
19．（2024八上·惠城期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点．
（1）求证：为的平分线．
（2）求证：．
20．（2024八上·惠城期中）如图，网格中小正方形的边长为1，
（1）画出关于y轴对称的（其中分别为A、B、C的对应点）；
（2）的面积为　 　；点B到边的距离为　 　；
（3）在x轴上是否存在一点M，使得最小，若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明原因．
21．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，为上一个动点．
（1）当，时，求的度数．
（2）已知，求证：
22．（2024八上·惠城期中）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．
（1）如图1，若，为何值时；
（2）如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
23．（2024八上·惠城期中）如图，中，，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①，若点C的坐标是，点A的坐标是，求B点的坐标；
（2）如图②，若y轴恰好平分，与y轴交与点D，过点A作轴于E，证明：．
（3）如图③，点B在y轴正半轴运动，点C在x轴正半轴运动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，猜想之间的关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可作答．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴这三个长度不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴这三个长度可以构成直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴这三个长度不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴这三个长度不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
本题根据勾股定理的逆运算，对各个选项运算判断是否可以构成直角三角形。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可．
【解答】当底角为80°时，则它的底角度数为80°；
当顶角为80°时，则其底角为：
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：是的内角，是的内角，
，
故答案为：A．
【分析】
是的内角，是的内角，通过三角形内角和定理可得 =180°+180°=360°。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A.，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误；
B.，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误；
C.，，，符合全等三角形的判定，故该选项正确；
故答案为：C．
【分析】
根据全等三角形的判定定理对各个选项进行逐项分析即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，只能说明是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、，，只能说明是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，故C选项符合题意；
D、，，只能说明是等腰三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）对各个选项进行判断即可．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分线段，，，
的周长为，
，
，
∵
，
即的周长是．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再根据即可求出的周长．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，
由题意知，，
，
，
，
即是的角平分线，
故答案为：D．
【分析】
利用尺规作图作一P点，连接，根据作图步骤知，根据三角形全等的判定可证明，由此得到答案．
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
由折叠性质得，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
利用三角形内角和定理可得，再由由折叠性质得，，然后利用平角定义即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
故选：．
【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS，SSS，AAS）和全等三角形的性质对①②③④进行分析即可。
11．【答案】19或17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：根据题意，
①当腰长为7时，底为5，此时可以构成三角形，
∴周长；
②当腰长为5时，底为7， 此时可以构成三角形，
∴周长；
∴等腰三角形的周长为19或17，
故答案为：19或17．
【分析】
本题分两种情况：①根据三角形三边关系可知，当腰长为7时，底为5，此时可构成三角形，且周长为19②根据三角形三边关系可知，当腰长为5时，底为7，此时可构成三角形，且周长为17。．
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于y轴对称，
∴
则，
∴
故答案为：．
【分析】通过点A与点B关于y轴对称可列出等式，计算即可求出， 代入3a-2b后即可得出答案。
13．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】
解：∵，点G、D、F分别为、的中点，∴，，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：15．
【分析】由题示条件可以得出，，再由三角形的外角的性质得出，，从而得出，进一步推导即可．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解： 如图， 延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：.
【分析】
延长到使，连接 后得到，根据全等三角形的性质得到角边的关系后，进一步推导可得，在等腰三角形BGE中通过等腰三角形的性质得到，推导角的关系即可得到，根据题给条件利用三角形内角和计算出∠ADC和∠BED的值后进一步计算即可得到∠FBC的值 ．
16．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，，∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可得；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可．
（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，，又，
∴，
∴，又，
∴，又，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
17．【答案】解：延长交于点，如图所示．
∵是的平分线，且，
∴，
∵，
∴，
．，
和等底同高，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示．
∵是的平分线，且，
∴，
∵，
∴，
．，
和等底同高，
，
【分析】延长交于点，由角平分线的定义可知，进一步证得，进而可得出，根据三角形的面积即可得出，再根据即可得出结论．
18．【答案】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
【分析】（1）以线段的一个端点A为圆心，以大于线段AB长度一半的长为半径画弧（半径必须大于一半，否则两弧无法相交）。保持圆规半径不变，以另一个端点B为圆心画弧，此时两弧会在线段AB的两侧各产生一个交点。用直尺连接两个交点C和D，直线CD即为线段AB的垂直平分线。（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案．
（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线；
（2）在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
即，
．
19．【答案】（1）证明：如图，过点作，，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
，，
为的平分线
（2）解：是的外角，是的外角，
，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
为的平分线，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）证明：如图，过点作，，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
，，
为的平分线
（2）
解：是的外角，是的外角，
，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
为的平分线，
，
．
【分析】（1）过点作，，，根据角平分线的性质得到PD=PE，PF=PE，进而得出，根据角平分的判定即可证明结论；
（2）由三角形外角的性质，可得， 根据角平分线的性质可得到，，进而得到，再结合，即可证明．
（1）证明：如图，过点作，，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
，，
为的平分线；
（2）解：是的外角，是的外角，
，，
分别是外角和的平分线，
，，
，
为的平分线，
，
．
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）4；
（3）解：存在，．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
（2）
解：依题意，，
∴的面积为；
设点B到边的距离为，
则，
故
解得
故答案为：4，
（3）
解：存在，过程如下：
如图，作点关于轴的对称点，再连接交轴于一点，即为点M，
此时的最小值，且，
∴，
∴．
【分析】
（1）根据轴对称的性质画出后，再依次连接，即可得出．
（2）的面积可以视为一个长方形减去三个三角形，运用割补法计算后得到面积为；再运用勾股定理列式，最后运用等面积法列式计算即可．
（3）根据轴对称的性质画出点，再连接交轴于一点，即为点M，得出此时的最小值，且，运用勾股定理计算得．
（1）解：如图所示：
（2）解：依题意，，
∴的面积为；
设点B到边的距离为，
则，
故
解得
故答案为：4，；
（3）解：存在，过程如下：
如图，作点关于轴的对称点，再连接交轴于一点，即为点M，
此时的最小值，且，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即
（2）解：
如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
【分析】
（1）设，可以用含x的式子表示，由可知，因此也可以用含x的式子表示，根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）延长到点E，使，连接，由可推得BC为AE的垂直平分线得到，通过角的关系可推导出，因此，进而即可证明结论．
（1）解：设，则，
，
，
，
，
解得，
即；
（2）如图，延长到点E，使，连接，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
即．
22．【答案】（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
．
由题意可知：，
则，
．
∴当的值为3时，．
（2）解：如图2，①当点在边上时
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，
则．
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
．
由题意可知：，
则，
．
∴当的值为3时，．
（2）
解：如图2，①当点在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，
则．
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
【分析】
（1）由等边三角形和平行线的性质得，，根据等边三角形的判定进而得出是等边三角形，列方程求解即可；
（2）根据的位置需分两类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
（1）解：如图1，是等边三角形，，
，，，，
，
是等边三角形，
，
．
由题意可知：，
则，
．
∴当的值为3时，．
（2）解：如图2，①当点在边上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点在边上时，
若为等边三角形，
则．
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
∴当时，为等边三角形．
23．【答案】（1）解：过点A作，如图，则，
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，，又，
∴，
∴，
即点B的坐标为；
（2）证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，又轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．证明：作轴于E，如图，
∵轴，轴，
∴，，
∵，又直角顶点C在x轴上，
∴，，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：过点A作，如图，则，
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，，又，
∴，
∴，
即点B的坐标为；
（2）
证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，又轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：．
证明：作轴于E，如图，
∵轴，轴，
∴，，
∵，又直角顶点C在x轴上，
∴，，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】
（1）过点A作轴于D，结合图像可得，，结合可证明得到，进而可求解；
（2）作的延长线交的延长线于点F，证得△ABC是等腰直角三角形后，通过推导角的关系可证明得到，再证明得到，进而可求解；
（3）作轴于E，由图可知，推导角的关系得到 后可证明得到，进而可得结论．
（1）解：过点A作，如图，则，
∵点C的坐标是，点A的坐标是，
∴，，又，
∴，
∴，
即点B的坐标为；
（2）证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，又轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵y轴恰好平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：作轴于E，如图，
∵轴，轴，
∴，，
∵，又直角顶点C在x轴上，
∴，，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴．
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