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第21章和第22章 一元二次方程和二次函数综合检测试题
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为(　　)
A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4
5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．方程 （x﹣5）（x﹣6）=x﹣5 的解是（　　）
A．x=5 B．x=5 或x=6
C．x=7 D．x=5或 x=7
7．已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
8．我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A． B． C． D．
9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　）
A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100
10．当﹣1＜k＜3时，则直线y＝k与函数y＝交点个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　）
A．24 B．26 C．28 D．30
二、填空题
13．方程的根是 ．
14．已知方程的一个根是，则m的值是 ．
15．某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为 ．
16．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
17．已知抛物线，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)
(2)
19．先化简，再求值：，其中a是方程的根．
20．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
21．某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元．
(1)平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）：
(2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？
22．如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
23．中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．

(1)求点A，B，C的坐标；
(2)直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
25．亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为．
(1)请求出和的值；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标；
(3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________．
26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B D D D D C D
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】A、，化简之后不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2＋bx＋c＝0中，如果a＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、含有2个未知数，因此不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．A
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=-1，
∴方程有两个不相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
故选A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：D．
4．B
【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
【详解】x2＋6x＋2＝x2＋6x＋32－32＋2＝(x＋3)2－7.
故选B．
5．D
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意．
【详解】解：由题意得，
解得：且，
故选：D．
6．D
【详解】（x-5）（x-6）=x-5
（x-5）（x-6）-（x-5）=0
（x-5）（x-7）=0
解得：x1=5，x2=7；
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解方程得或，
当腰长为3时，则底边长为4，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为；
当腰长为4时，则底边长为3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为，
综上所述，的周长为10或11，
故选D．
8．D
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果．
【详解】把方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键．
9．C
【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可．
【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得
（x+1）2＝100，
故选C．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10．D
【分析】画出函数y＝的图象，根据图象即可求得结论．
【详解】解：画出函数y＝的图象如图：
由图象可知，直线y＝k与函数y＝交点个数有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
11．A
【分析】由与有两个交点，可知有两个不相等的实根，即，可得关于的不等式；再由，不等式左边展开，利用韦达定理可得关于的不等式，联立不等式组即可．
【详解】解：因为与有两个交点，所以，即有两个不相等的实根，即，解得：，
由整理得：
，
由韦达定理可知：，代入上式得，，解得：，
联立解得：，
故选：A．
【点睛】本题结合函数考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是理解图像有两个交点等价于方程有两个不相等实数根，从而得出含的不等式，利用韦达定理展开已知含两根的不等式得出含的不等式．
12．C
【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长．
【详解】解：如图，
取中点，取中点，连接，，
由图2可知，当时，，
∴当时，，即当与重合时，，
∵此时与重合，为的中点，即为的中点，
∴，
同理当与重合时，即时，，
∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可证是的中位线，
∴，
∴点在上，
∴当时，的值最小，即此时的值最小，
过点作于，连接并延长交于，由图2可知，
∴，，
∴，
∴，
∴点与点重合时，取得最大值，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键．
13．，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程的方法是解题关键．利用直接开方法解该方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
答案为：，．
14．
【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．4.86（1+x）2=6
【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，
故答案为：4.86（1+x）2=6．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
16．
【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答．
【详解】解： ，
，，，
从而得到一元二次方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．
17．或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，点到直线的距离，解一元二次方程，正确理解题意列方程是解题的关键．设点，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，根据题意列方程，当时，求得，可得点P的坐标；当时，求得，可得点P的坐标．
【详解】设点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
则，
当时，，
解得，（舍去），
；
当时，，
解得，（舍去），
；
终上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．
18．(1)，；
(2)方程无实数解
【分析】本题考查了利用因式分解法和公式法解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程．
【详解】（1）解：因式分解得，
所以，；
（2）解：，
，，，
，
所以，方程无实数解．
19．，5
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴原式．
20．(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案；
（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为，
所以原二次函数的解析式为，
所以，，；
（2）解：二次函数，即
∵，
∴图象开口向下，
二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
21．(1)
(2)每套纪念品应定价50元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意即可得出结论；
（2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为套，
故答案为：；
（2）解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：每套纪念品应定价50元．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案；
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点，可得
．
解得：．
所以，抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知
当时，随的增大而减小．
当时，．
当时，．
所以，当时， 的取值范围为．
23．(1)，
(2)当时，使得的面积为
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案；
（2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，使得的面积为．
24．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．
（1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标；
（2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
【详解】（1）令，则，
解得 ，，
∴，
令，则，
∴；
（2）∵，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键．
（1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解；
（2）联立方程解二元一次方程组即可求解；
（3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为，
∵小球达到的最高的坐标为，
∴，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：根据题意联立方程组得，
，
解得，（不符合题意，舍去）或，
∴；
（3）解：已知二次函数的顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大；
∵时的最大值为，
∴当时取到最大值，且，即，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，随的增大而减小，
∴当时取得最大值，且，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
26．(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2，
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD OC+EF CM+EF BN，
=××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．
【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值
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