资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数 章末综合检测试题
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，5） C．（2，0） D．（5，0）
2．已知点，，都在二次函数的图象上，那么、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一坐标系中，作y=3x2+2，y=﹣3x2﹣1，y=x2的图像，则它们（　　）
A．都是关于y轴对称 B．顶点都在原点
C．都是开口向上 D．以上都不对
4．如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x-3
5．已知二次函数y=x2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（　　）
A．先往左上方移动，再往左下方移动
B．先往左下方移动，再往左上方移动
C．先往右上方移动，再往右下方移动
D．先往右下方移动，再往右上方移动
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知3x+y＝6，则xy的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10．已知二次函数图象如图所示，下列结论：
；；；点，都在抛物线上，则有其中正确的结论有　　
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
11．抛物线的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：
；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．
其中正确的有　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断：
①关于x的一元二次方程的两个根分别是；
②；
③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3；
④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是，
上述四个判断中正确的 有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若是二次函数，则m的值是 ．
14．把二次函数y=x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为 ．
15．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t -1.2t 2，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论，①abc＞0； ②a+b+c＜0；③b=2a；④a+b＞0；则其中正确的结论是 （只填写序号）．
17．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．
18．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=﹣1，与x轴的一个交点是A（﹣3，0）其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①2a=b；②abc＞0，③若点B（﹣2，y1），C（﹣，y2）是图象上两点，则y1＜y2；④图象与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）．其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）
三、解答题
19．已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值．
20．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 5 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ；
(2)若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
(3)求函数与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，}的最小值．
22．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
23．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表所示．【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】
销售单价x（元）
日销售量y（件）
日销售利润w（元）
(1)填空：该商品的成本单价是___________元，表中a的值是___________．
(2)求该商品日销售利润的最大值．
(3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（）．该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价不低于元，日销售量与销售单价仍然满足上表中的函数关系．若日销售利润最大是元，求m的值．
24．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
25．在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
（1）求证：函数y1与x轴有交点；
（2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围．
26．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B C B B B C C
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，可令x=0，求得y值即可.
【详解】∵当x=0时，y=3(x-1)2+2=3(0-1)2+2=5，
∴y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（0，5），
故选B.
【点睛】本题考查二次函数图像与y轴交点坐标的特点，掌握图像与y轴的交点的横坐标为0是解题关键.
2．D
【分析】分别计算自变量为 2、、 对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：当x＝ 2时，a＝ x2＋2x＋3＝ （ 2）2＋2×（ 2）＋3＝ 5；当x＝时，b＝ x2＋2x＋3＝ （）2＋2×＋3＝；当x＝时，c＝ x2＋2x＋3＝ （）2＋2×＋3＝ ；
所以a＜c＜b．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．A
【分析】从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x=0，对称轴为y轴．
【详解】观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，
故对称轴x=-=0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像，解题的关键是掌握二次函数的一次项系数为0，对称轴是y轴．
4．B
【分析】根据题意可知抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），则可设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a的值即可．
【详解】因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
可设交点式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），
可得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
所以解析式为：y=x2-2x-3，
故选B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
5．C
【分析】根据顶点坐标公式求二次函数y=x2-bx+2的顶点坐标，设顶点的横坐标为m，纵坐标为n，转化为关于x、y的函数关系式进行判断．
【详解】∵抛物线y=x2-bx+2的顶点坐标为（，）
设m=，n=，则n=-m2+2，
∴顶点在抛物线y=-x2+2（-1≤x≤1）的一段上移动，
∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴先往右上方移动，再往右下方移动．
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
6．B
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=－2a＞0，由抛物线与x轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（－1，0）与（0，0）之间，所以当x=－1时，a－b+c＜0，则可对④进行判断；把b=－2a代入可对②进行判断；利用二次函数的最值问题对③进行判断；把ax12+bx1=ax22+bx2进行变形得到（x1－x2）[a（x1+x2）+b]=0，从而得到a（x1+x2）+b=0，再利用b=－2a可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=－=1，
∴b=－2a＞0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（－1，0）与（0，0）之间，
∴当x=－1时，y＜0，
即a－b+c＜0，所以④错误；
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴a（x1+x2）（x1－x2）+b（x1－x2）=0，
∴（x1－x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，
∴x1+x2=－=－=2，所以⑤正确．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
7．B
【分析】根据已知方程得到y=－3x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=－3x2+6x，利用配方法求该式的最值．
【详解】解：∵3x+y=6，
∴y=－3x+6，
∴xy=－3x2+6x=－3（x－1）2+3．
∵（x－1）2≥0，
∴－3（x－1）2+3≤3，即xy的最大值为3．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值．
8．B
【分析】抛物线与x轴的交点的横坐标，即令y=0所对应的一元二次方程的根．
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1．
故选B．
【点睛】考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的关系．
9．C
【分析】把（a，0）代入y=x2﹣x﹣1可以求得a2﹣a=1,再将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
【详解】∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），
∴a2﹣a﹣1=0，
∴a2﹣a=1，
∴a2﹣a+2018=1+2018=2019.
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其图像上点的坐标满足其解析式.
10．C
【分析】观察图象判断出a、b、c的符号,即可得出结论①正确,利用对称轴公式x<-1,可得结论②正确;判断出x=-1时纵坐标为负,可得结论③错误,利用图象法可以判断出④错误;
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0，
∵-
∴b>0
∵拋物线交y轴于负半轴,
∴c<0,
∴abc<0,故①正确,
∵-，a>0,
∴b>2a,
∴2a-b<0,故②正确,
∵x=-1时,y<0
∴a-b+c<0，故③错误,
点(-3,y1),(1,y2)都在抛物线上,
观察图象可知y1【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定拋物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点．对二次函数图像性质的熟悉是解题关键．
11．B
【分析】结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
【详解】对称轴是y轴的右侧，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故错误，不符合题意；
，
，，故正确，符合题意；
由图像得：时，与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确，符合题意；
抛物线的对称轴是，
有最大值是，
点在该抛物线上，
，故正确，符合题意，
本题正确的结论有：，4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解答本题的关键.
12．C
【分析】由抛物线与对称轴的交点对①进行判断；由抛物线经过点（-1，0），代入解析式即可对②进行判断；利用抛物线的对称轴对③进行判断；利用抛物线的对称性得到PA=PB，当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，根据勾股定理求得AC、BC即可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴关于x的一元二次方程的两个根分别是,故①正确；
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，抛物线上有三个点分别为
（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴|-2-1|＞|2-1|，
∴y1＜y3＜y2；，故③错误；
∵P为抛物线对称轴上的一个动点，
∴点A与点B为抛物线的对称点，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，
此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，
∵OA=1，OC=3，OB=3，
∴AC=，BC=，
∴△PCA的周长最小值为+．故④正确．
故选：C．
【点睛】考查的是二次函数的图像和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
13．﹣3
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【详解】∵是二次函数，
∴m2+2m﹣1=2且m﹣1≠0，
解得：m1=1（舍去），m2=﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．
14．y=﹣x2﹣2x﹣3
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣1，即y=﹣x2﹣2x﹣3．
故答案为y=﹣x2﹣2x﹣3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
15．25
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s取得最大值时的t的值即可得．
【详解】解：∵s＝60t－1.2t2＝－1.2（t－25）2＋750，
∴当t＝25时，s取得最大值750，
即飞机着陆后滑行25秒才能停下来，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值是解题的关键．
16．①②③
【分析】由图象可得a＜0，c＞0，b＜0；﹣=﹣1，当x=1时，y＜0，即可判断各个结论是否正确．
【详解】∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵﹣=﹣1，
∴b=2a，即b＜0，
∴abc＞0，故①③正确；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②正确；
∵a+b=a+2a=3a＜0，
∴④错误．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握：①一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异），②常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
17．
【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【详解】连接AC,与对称轴交于点P,
此时DE+DF最小，
点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，
当时，或
即
点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=
DE+DF的最小值为：
故答案为
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
18．①②④
【分析】根据抛物线的对称轴方程得到﹣=﹣1，则可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴位置得到b＜0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；利用抛物线的对称性对④进行判断．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=2a＜0．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②正确；
∵x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，所以③错误；
∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，抛物线与x轴的一个交点是A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以④正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
19．2
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，代入解析式计算，结合第一象限的条件取舍即可．
【详解】∵点是抛物线上的点，
∴，
解得或
∵点在第一象限内，
∴．
20．(1)抛物线解析式为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设，然后把代入求出抛物线解析式；
（2）利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【详解】（1）解：∵和的函数值相同，都是，
∴对称轴为直线，
∴顶点为，
设，
将代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：描点，连线，这个二次函数的图象如图，
（3）解：当时，y的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．(1)5，3
(2)
(3)见解析，
【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；
（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，}的最小值．
【详解】（1）解： max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．
故答案为：5；3．
（2）解：∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，
∴3x+1≤﹣x+1，
解得：x≤0．
（3）解：联立两函数解析式成方程组，
，解得：， ，
∴交点坐标为(﹣2,4)和(3,﹣1)．
画出直线y＝﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，}取最小值﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
22．(1)
(2)，顶点
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解；
（2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：若，
则是抛物线上关于对称轴对称的两点
故抛物线的对称轴为直线：，
故答案为：
（2）解：∵点在上，
∴， .
∴
将代入得：
∴
解得
∴.
故顶点坐标为
23．(1)，
(2)
(3)3
【分析】（1）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解；
（2）根据二次函数的顶点式即可求解；
（3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），把销售的最大利润代入即可求解．
【详解】（1）解：设该产品的成本单价是n元，
根据题意得：，
解得：，
．
（2）设日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足的一次函数关系为，
把，代入得：，
解得：，
一次函数解析式为，
根据题意，得，
，
，
，抛物线开口向下，
当时，w最大，最大值为．
（3）设利润为元，根据题意可得：
，
，
销售单价不低于元，即，
，
对称轴为： ，
，
，且开口向下，
随x的增大而减小，
当时，取最大值为，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
24．(1)
(2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
25．（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：；（3）的取值范围为：．
【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可；
（2）将化为顶点式，然后代入解析式，化简即可得出实数m，n的关系式；
（3）根据二次函数的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围．
【详解】解（1），
，，，
，
∴函数与x轴有交点；
（2），
∴顶点坐标为：，
∵函数经过函数的顶点，
∴，
化简可得：，
∴实数m，n的关系式为：；
（3）抛物线的对称轴为：，
∵二次项系数，开口向上，作草图如下：
∴（-3，a）与（1，a）关于对称，
∵，
∴根据函数图象的性质可得：，
∴的取值范围为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数图象是解题关键．
26．(1)（36-3x）
(2)8
(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑