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2024-2025学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则( )
A. B. C. D.
4.已知空间四边形，，分别是，的中点，且，，，用，，表示向量为( )
A. B.
C. D.
5.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
6.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
7.棱长为的正四面体中，与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且公差，则以下结论正确的( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的最大值为
D. 若，，成等比数列，则
10.已知圆：直线：，，则( )
A. 直线恒过定点
B. 存在实数，使得直线与圆没有公共点
C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于
D. 圆与圆只有一条公切线
11.如图，在棱长为的正方体中，点在线段包括端点上运动，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成角的取值范围是
B. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是
C. 三棱锥的体积为定值
D. 当为的中点时，到的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，则数列前项和的值为______．
13.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则的值为______．
14.已知抛物线：，为抛物线的焦点，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则抛物线的准线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长．
16.本小题分
已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差为，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
将曲线向上平移个单位得到曲线，已知直线：与曲线有两个不同的交点，，求．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知数列为等差数列，前项和为，满足，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和；
是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：若椭圆上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，即点关于的一个共轭点为，已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
求椭圆的方程；
求点关于的所有共轭点的坐标；
设点，在上，且，求点关于的所有共轭点和点，所围成封闭图形面积的最大值．
参考答案
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15.解：圆的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交，
直线被圆所截的弦长为．
16.设点，根据题意可知，
直线的斜率，直线的斜率为，
那么可得，
整理可得．
结合第一问可知曲线为；
设，，
联立曲线和直线可得，整理可得，根的判别式，
根据韦达定理可得，；
因此．
17.证明：连接，
在中，因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
解：在直三棱柱中，，
则，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，．
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
设点到平面的距离，又，
则，
所以点到平面的距离为．
18.由数列为等差数列，设公差为，由，，
可得，即，
又，即，
解得，，
所以；
，
所以，
所以；
假设存在正整数，，，使得成等差数列，
则，
即，
即，
取，可得：，
所以存在，，．
19.解：因为椭圆的离心率为，且椭圆过点，
则，
解得，，
所以椭圆的方程为．
设点关于的共轭点的坐标为，
由题意有，
得，解得，
即点关于的共轭点有且只有一个，坐标为，即为本身．
因为，所以，
所以设直线方程为：，
则，
得．
由，解得．
又设，，
则．
则．
又设到直线距离为，
则．
由知，点关于的共轭点有且只有一个，坐标为，故所围成的图形为，
则其面积为
，
当且仅当，即取等号．
故点关于的所有共轭点和点，所围成封闭图形面积的最大值为．
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