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2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，角，，的对边分別为，，，若，点是的重心，且，则的面积为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
C. 的共轭复数 D.
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为( )
A. B. C. D.
4.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
，，，，
，，，
其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.在棱长为的正方体中，点是对角线上的点点与、不重合，则下列结论正确的个数为( )
存在点，使得平面平面；
存在点，使得平面；
若的面积为，则；
若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知三棱锥的外接球的球心为，平面，，，，则球心到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ，使得
C. 与的夹角小于 D. ，使得
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的内角，，所对边的长分别为，，，已知为的外心，，，的面积满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.若，其中为虚数单位，则可以是( )
A. B. C. D.
11.如图，点是正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 点存在无数个位置满足
B. 若正方体的棱长为，则三棱锥体积的最大值为
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 点存在无数个位置满足平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二面角的棱上有，两点，，，，若，，，，则点到平面的距离是______．
13.设复数，满足，，其中是虚数单位，是负实数，求 ______．
14.在中，角，，所对的边分别为，，已知向量且为边上一点，且则______，面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点，分别为线段，的中点．
证明：平面；
在线段上找一点，使得平面，说明理由并求此时的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，．
若点为的中点，为的中点，求证：平面平面；
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
设，是不共线的非零向量，且，．
若，求，的值．
若，是互相垂直的单位向量，求与的夹角．
18.本小题分
已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求的大小；
若满足，求面积的取值范围．
19.本小题分
如图，在海岸北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇，该缉私艇发现在正东与距离海里的处有一走私船，走私船正以海里时的速度从处向北偏东方向逃窜缉私艇奉命以海里时的速度拦截走私船．
问缉私艇沿什么方向行驶才能最快拦截到走私船？求缉私艇沿最快拦截到走私船所需要的时间．
若缉私艇最快在处拦截到走私船，位于北偏东处，求与的距离及的值．
参考答案
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14.
15.解：证明：取得中点，连接，
因为为的中点，
所以，且，
又因为，且，
所以且，
故四边形是平行四边形，
故AF，
又因为平面，平面，
所以平面；
连接，与相交于，则为的三等分点靠近点，即为所求．
理由如下：在平行四边形中，
因为、分别是、中点，
则，，
即四边形是平行四边形，
于是得，令，
则，
而平面，平面，
因此平面，
由知平面，又，，平面，
于是得平面平面，
又平面，
所以平面，且为的三等分点靠近点，
故．
16.证明：在等边三角形中，因为为的中点，
所以，
因为，，
所以，
，即，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又为的中点，为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面．
解：过作，交于，再过作，交于，连接，
则即为所求，
由，可得，，
在直角三角形中，，
则，
所以：：，
由，可得．
证明：当时，可得，
平面，平面，可得平面，
又，平面，平面，可得平面，
又，可得平面平面，
而平面，所以平面．
17.解：因为，，
所以，
因为，且，是不共线的非零向量，
所以由平面向量基本定理可得：，解得；
因为，是互相垂直的单位向量，所以，
所以，
，，
所以，
又因为，所以．
18.因为，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以．
因为，
在中，由正弦定理及余弦定理得，
所以，故，
由正弦定理可得，，
所以，，
则面积
，
因为，解得，
所以，
所以，
故，
所以面积的取值范围为
19.假设缉私艇最快在处拦截到走私船，所需要的时间为小时，
在中，，，，
由正弦定理知，，
所以，解得，
因为，所以，
即缉私艇沿北偏东方向行驶才能最快拦截到走私船；
因为，，
所以，
所以，即，解得小时，
故缉私艇沿最快拦截到走私船所需要的时间为小时．
在中，，
由知，，
由余弦定理知，，
所以海里；
过点作的垂线，交于点，则，，
在中，由正弦定理知，，
所以，解得，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，解得．
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