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2024-2025学年北京市景山学校远洋分校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则等于( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，已知，则该数列前项和( )
A. B. C. D.
3.国古代典籍周易又称易经，分为经部和传部，其中经部之原名就为周易，是用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
4.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则前项的和为( )
A. B. C. D.
5.若的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则( )
A. B. C. D.
8.数列是等比数列，则对于“任意的，”是“是递增数列”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分也不必要
9.的值为( )
A. B. C. D.
10.已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知二项式，则 ______．
12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则 ，数列的前项和的最小值是 ．
13.已知随机变量，均服从分布，若，且，则 ______．
14.如图，一个小球从高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．
15.已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论：
的第项大于；
为递减数列；
为等比数列；
中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列是等差数列，满足，，数列是等比数列，满足，．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从年至年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和
年份
新能源汽车销量占比
Ⅰ从年至年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于万辆的概率；
Ⅱ从年至年中随机选取两年，设表示新能源汽车销量超过万辆的年份的个数，求的分布列和数学期望；
Ⅲ对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”请写出该地区从年至年中“爆发年”的年份．只需写出结论
18.本小题分
已知数列，_____在数列的前项和为，；数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分在答题前应说明“我选_____”
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
治理垃圾是市改善环境的重要举措．去年市产生的垃圾量为万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续年，每年的垃圾排放量比上一年减少万吨，从第年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
写出市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
20.本小题分
某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷试讲讲座前后这位居民答卷的正确率如下表：
编号正确率 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
试讲讲座前
试讲讲座后
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
答卷正确率
垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀
假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．
Ⅰ正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率；
Ⅱ正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取人，这人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”设随机变量为“这人讲座后垃圾分类知识水平达到优秀的人数”，试估计的分布列和数学期望；
Ⅲ在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？结论不要求证明
21.本小题分
已知数列是无穷数列．若，则称为数列的阶差数列；若，则称数列为数列的阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中．
Ⅰ若数列的通项公式为，求数列的阶差数列的通项公式；
Ⅱ若数列的首项为，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；
Ⅲ若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由．
参考答案
1.
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5.
6.
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11.
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13.
14.
15.
16.数列是等差数列，设公差为，
由，，可得，解得，
则；
数列是等比数列，设公比为，
由，，可得，，
可得，，
则；
．
17.解：Ⅰ由汽车销量图可知年中有年汽车总销量不小于万辆，
则这一年该地区汽车总销量不小于万辆的概率为；
Ⅱ根据图表可知新能源汽车年的销量如下表：
年份
新能源汽车销量
由表可知新能源汽车销量超过万辆的年份有个，不超过万辆的年份有个，
则随机变量可能取值为：，，，
；；；
的分布列为：

．
Ⅲ由Ⅱ中表可知：
年与年新能源汽车销量之和为，年不符合要求，
年与年新能源汽车销量之和为，年不符合要求，
年与年新能源汽车销量之和为，年符合要求，
年与年新能源汽车销量之和为，年不符合要求，
年与年新能源汽车销量之和为，年符合要求，
故“爆发年”为、．
18.解：选，当时，，即，
当时，，，
两式相减可得，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
所以；
选，当时，，
当时，，
即，
当时，符合上式．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
因为，
所以
，
所以．
19.解：设治理年后，市的年垃圾排放量构成数列，
当时，数列是首项为，公差为的等差数列，
，
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
，
治理年后，市的年垃圾排放量的表达式为．
设为数列的前项和，则，
，
由知，时，，为递减数列，
时，，为递减数列，且，
为递减数列，
，，，，
，
数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的．
20.解：正式讲座前，位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：，
所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：．
Ⅱ由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：，
正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：，
由题意，的值可以为：，，，，
且：，
，
，
．
所以的分布列为：


所以．
Ⅲ从未参加讲座的居民中抽取人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；
从未参加讲座的居民中抽取人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；
从未参加讲座的居民中抽取人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；
从参加讲座后的居民中抽取人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则．
因为，，．
所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大．
21.解：Ⅰ因为，所以，
；
Ⅱ因为，且，所以，
所以，，，，，，
把上面个等式左右两边分别依次相加，得到，
于是，
又因为，所以．
Ⅲ数列的阶差数列的通项公式为理由如下：
当时，，
其阶差数列的通项公式，阶差数列各项均为．
当时，，
其阶差数列的通项公式，
阶差数列的通项公式为，阶差数列各项均为．
假设时，的阶差数列为常数，阶差数列各项均为．
当时，的阶差数列为
因为的阶差数列就是的阶差数列，
由假设知的阶差数列各项均为常数．
因为的阶差数列为
，
所以的阶差数列为的阶差数列与的阶差数列的和，
进而有的阶差数列为的阶差数列与的阶差数列的和．
所以，数列的阶差数列的通项公式为．
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