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2025年第十届爱尖子数学能力测评
2025年第十届爱尖子数学能力测评
一试
总分：120分
考试时长：80分钟
学校：
年级：
姓名：
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.已知a,b,c,d是互不相同的正实数，ab+a+b,ac+a+c,ad+a+d,bc+b+c,bd+b+d,
cd+c+d这6个算式至少有一个不同的结果.
2.在锐角△ABC中，sinA+cosA=2sinB,则tanC的取值范围是
3.如图，一个“仓库”立体图形是由具备相同底面的圆锥和圆柱拼接而成（底面贴合在一起）·如果一个仓库
内部可以放入一个单位球（半径为1的球），它的容积最小值是
4.某种电子游戏可进行如下操作：①消耗1点能量，在屏幕上生成一个A图案或B图案，概率均为：②将2
个A图案合成一个B图案（不消耗能量）：③将2个B图案合成一个C图案（不消耗能量）；④将一个C
图案从屏幕上移除（不消耗能量）·如果开始时屏幕上有一个A图案，想要将屏幕上所有图案都移除，花费
总能量不超过5点的概率是
5.已知a,b为实数，关于x的方程x2+ar+b=0的两个实数根均在(0,2)内，则a2-b2的取值范围是
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线1过点F且与抛物线在第一象限内交于点A,在第四象限内交于点B,
满足AF=3FB.直线l,与I平行，且与抛物线在第一象限内交于点C,在第四象限内交于点D,与x轴交
于点E,满足CE=2ED.线段CD的长度为
7.已知实数2和数列{an}满足：4=1，a1=a+2(n∈N*),且数列{a}的任意连续三项a,a,a2(k∈N*)
均可构成三角形三边长，则入的取值范围是
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8,如图，将3×4的方格表中染红若干个格子，已知其中任何一个2×2的方格表内的四个格子至少一个被染为红
色（如图为一种符合条件的染法），一共有
种不同的方法（旋转、翻转后重合视为不同的方法）·
二、解答题（第9小题16分，第10、11小题20分，共56分）
9已知复数满足号9的，3+=0+以
(1)求|z最小值：
(2)求|z2|最小值.
10.给定点F(-1,O)和F(1,O),椭圆「，以F,F为焦点，离心率为g,左顶点为A:双曲线「，以F,F为
焦点，离心率为e,左顶点为B,给定正实数2，已知AF=AFB.设「，「，在第一象限内交于P点，求
OP长度的取值范围(O为原点，结果用1表示).
川.设两个正实数数列，，}满足=乃=1，=无，+2，=儿+(neN).求证：对任意正
J
X
整数n,号宁1.
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