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第二章 二次函数
2. 二次函数的图象与性质（第1课时）
一次函数
反比例函数
二次函数
1.函数 是二次函数，则 k 的值是______ .
0或3
变式训练：如果函数 是二次函数，则 k 的值是______.
0
小结：①最高次数项次数为 2； ②保证二次项系数不为 0.
1.回顾正比例函数，一次函数与反比例函数图象特征，请同学们谈谈它们的图象有哪些特征？
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）________；
（3） ________.
（2） ________ ；
列表
描点
连线
3.你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗？
知识回顾
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
探究二次函数 y= x2 的图象和性质
观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y 值，完成下表：
9
新知讲解
4
1
0
1
4
9
如图1，描点，连线：
y =x2
y
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
列表：
图1
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-1
注意：
（1）在连接时必须用光滑的曲线；
（2）在连接时必须依次连接.
（1）你能描述图象的形状吗？
（2）图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当 x<0 时，随着 x 的值增大，y 的值如何变化？ 当 x>0 时呢？
探究二次函数 y=x2 的图象和性质
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.
（4）当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
探究二次函数 y=x2 的图象和性质
二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上.
关于y轴对称，y轴就是它的对称轴
顶点：对称轴与抛物线的交点.
y 随着 x 的增大而减小.
y 随着 x 的增大而增大.
说明：1.图象在x轴的上方（除顶点外）；
2.顶点是它的最低点；
3.开口向上，并且向上无限伸展；
4.当 x=0 时，函数y的值最小，最小值是0.
（1）二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？
（2）先想一想，然后作出它的图象.
（3）它与二次函数 y= x2 的图象有什么关系？
做一做
O
二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向下.
说明：1.它与抛物线 y=x2 图象的开口方向相反.
2.它与抛物线 y=x2图象的形状相同.
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质？
（1）图象与 x 轴交于原点（0，0）；
（2） y≤0 ；
（3）当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小 ；
（4）当 x=0 时，y最大值 = 0 ；
（5）图象关于y 轴对称 .
O
1.设正方形的边长为a，面积为S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象.
随堂练习
解： S 与a 的函数表达式为
a … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
S … …
列表如下：
9
4
1
0
1
4
9
描点、连线如图2所示.
图2
2.点 A（2，4）在二次函数 的图象上吗？请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标，关于原点 O 的对称点 D 的坐标.请问点 B，C，D 在二次函数 的图象上吗？在二次函数 的图象上吗？
解：点 A（2，4）在二次函数 的图象上.
点 B 的坐标为（2，-4），点 C 的坐标为（-2，4），点 D 的坐标为
（-2，-4）.
点B，D在 的图象上，点C 在 的图象上.
o
y
x
y=x2
y=-x2
2.当 a>0 时，抛物线 y =ax2在 x 轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当 a<0 时，抛物线 y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.
3.当 a>0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大.当 x=0 时，函数 y 的值最小.当a<0 时，在对称轴的左侧，y随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小.当 x=0 时，函数 y 的值最大.
1.抛物线 y =ax2 的顶点是原点，对称轴是 y 轴.
由二次函数 y=x2 和 y=-x2 知：
归纳小结
作业布置
习题2.2

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