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(共26张PPT)
北师大版 初中数学九年级下
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
复习回顾
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
顶点坐标
向上
向下
y
左
右
正
负
复习回顾
1.一次函数y=2x 3与y轴的交点
坐标是_________.
A.（ 3，0） B.（0， 3）
C.（3，0） D.（0，3）
2.二次函数y=x2 2x+c的图象如图所示，则该二次函数的表达式是_____________.
B
y=x2 2x 1
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是_________，
与y轴的交点坐标是_________.
(0，b)
当b=0时，正比例函数y=kx(k≠0)图象必过_________.
一条直线
(0，0)
2.二次函数表达式的一般形式是
______________________________________.
y=ax +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
二次函数的图象是______________.
与y轴的交点坐标是_________.
(0，c )
当______时，抛物线过原点.
c=0
一条抛物线
c= 1
练习一
知识回顾一
2k+b= 12
k+b=3
探索新知
∴一次函数的解析式为_________
3.一次函数y=kx+b(k≠0)有____个待定系数，通常需要已知____个点的坐标求出它的表达式．
2
2
反比例函数
(k≠0)需要已知
____个点的坐标求出它的表达式．
1
3.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，
求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为_______
∴
∵该函数图象经过点(1，3)和( 2， 12)，
解得_________
y=5x 2.
求一次函数表达式的方法是________________.一般步骤是：
待定系数法
(4)还原:(写表达式)
(1)设:(表达式)
(2)代:(坐标代入)
(3)解:方程(组)
y=kx+b,
k=5，b= 2
练习一
知识回顾一
∴所求二次函数表达式为
探索新知
y= 2x2 -5 .
∴
　　已知二次函数 y＝ax2 + c 的图象经过点(2，3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2，3）和(－1，－3)，
4a+c
a+c
a= ,
c= .
解得
{
{
例1
函数解析中有____个待定系数，需要已知____个点的坐标求出它的表达式．
2
2
b=0
两个待定系数
两个已知点
2
－5
=
=
3
－3
用一般式确定二次函数表达式
探索新知
　 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为 ，且 经过点(2，5)和( 2，13)，求这个二次函数的表达式．
∴这个二次函数的表达式为_______________
二次函数 (a ≠0)有____个待定系数，通常需要已知____个点的坐标求出它的表达式．
3
解：设这个二次函数的表达式为_________________
y＝2x2－2x+1.
4a－2b+c＝13，
c＝1,
4a+2b+c＝5，
解得
b＝－2，
c＝1，
a＝2，
y=ax +bx+c
1
方法一：
用一般式确定二次函数表达式
3
依题意得
探索新知
∴
　 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为 ，且 经过点(2，5)和( 2，13)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象与y轴交点的纵坐标为1
4a+2b+1=5，
4a－2b+1=13，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－2x+1.
a=2，
b=－2.
解得
{
{
做一做
又∵该图象经过点（2，3）和(－2，13)，
∴设这个二次函数的表达式为
y＝ax2＋bx＋
1
1
方法二：
用一般式确定二次函数表达式
探索新知
用一般式确定二次函数表达式
（1)求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式，关键是求出系数a，b，c的值。
（2）已知二次函数 y=ax +bx+c 中的一项系数时，再知道两个点的坐标，就可以确定二次函数的表达式。
方法小结一
复习回顾
知识回顾二
1.抛物线y＝ x2+2的顶点坐标是____
A.（ 2，0） B.（0， 2）
C.（2，0） D.（0，2）
2.抛物线y＝ x2+2的对称轴是____
A. x 轴 B. y 轴
C.直线 x= 1 D.直线 x=2
表 达 式 顶 点 对 称 轴
y＝ax2 (a≠0) (0，0) y 轴(直线 x=0)
y＝ax2+c (a≠0) (0，c) y 轴(直线 x=0)
y＝a(x h)2 (a≠0) (h，0) 直线 x=h
y＝a(x h)2+k (a≠0) (h，k) 直线 x=h
3.点( 1，2)二次函数y＝ax2的图象上，则这个二次函数的解析式是__________
抛物线顶点的横坐标为0，
对称轴是y轴
y＝2x2
练习二
D
B
复习回顾
知识回顾二
表 达 式 顶 点 对 称 轴
y＝ax2 (a≠0) (0，0) y 轴(直线 x=0)
y＝ax2+c (a≠0) (0，c) y 轴(直线 x=0)
y＝a(x h)2 (a≠0) (h，0) 直线 x=h
y＝a(x h)2+k (a≠0) (h，k) 直线 x=h
　　　　　　　　　　　　　　　则可设该抛物线的解析式为_____________,
如果点(0，12)在该抛物线上，那么该抛物线的表达式是____________.
y＝2(x 3)2 6
练习二
y＝a(x 3)2 6
4.抛物线的顶点是(3， 6)，
当x＝3时，二次函数的最大值是 6，
抛物线的对称轴是直线x=3，抛物线与对称轴交点纵坐标是 6，
例题精讲
例3 已知抛物线的顶点坐标为(2， 1)，与y轴交于点(0， 3)，求这条抛物线的表达式.
解：设抛物线的表达式为__________________
∵抛物线与y轴交于点(0，3)
y＝a(x 2)2 1，
∴__________________
(0 2)2 a 1＝ 3，
解得，___________
∴这条抛物线的表达式为：____________________.
例2
例2：如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出y与x之间的关系式吗？
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），
因此设它的关系式为
又∵图象过点（10，0）
∴
解得：
∴图象的表达式为
例题精讲
例3
方法小结二
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时，通常运用顶点式y＝a(x－h)2＋k来确定二次函数的表达式；
探索新知
1.已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象经过(1，3)，(0，1)两点，求这个二次函数的表达式．
例题精讲
例4
方法小结三
探索新知
已知二次函数y=ax +bx+c中的一项系数时，再知道两个点的坐标，就可以确定二次函数的表达式
例题精讲
3.已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
例5
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象过点（0,0）、（12,0），最低点的纵坐标为-3,求该抛物线的解析式
例题精讲
例6
方法小结二
探索新知
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).
可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。
1．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是( -1 ，3)，则该抛物线的表达式为(　　)
A．y＝－2(x－1)2＋3 　B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝2(x＋1)2＋3　 D．y＝－(2x－1)2＋3
巩固练习
B
巩固练习
2.如图，二次函数 y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，求该抛物线的表达式.
解：根据图象可得c=3,Ｂ点坐为（－3，0）
解得：b=4
9－3b+3=0，
∴该抛物线的表达式为 .
y=x2+4x+3
巩固练习
4．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同、开口方向相反，顶点坐标是(3,－4)，则该抛物线的表达式为__________________.
3．已知抛物线y＝－2x2＋mx+1经过(2，5)，则这个二次函数的表达式是 .
巩固练习
5. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)两点，求这个二次函数的表达式；
巩固练习
6.已知二次函数图象过点（1,0）,（3,0），与y轴于（0,3），求这个二次函数的表达式。
巩固练习
7.抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点．求写出点A，B的坐标，并求出抛物线的解析式．
巩固练习
8.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知,y与x之间的函数表达式为(　　)
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A.y=x2 4x+3 B.y=x2 3x+4 C.y=x2 3x+3 D.y=x2 4x+8
A
巩固练习
9. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)，与x轴交于A，B两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)判断△MAB的形状，并说明理由．

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