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2025年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）计算（﹣2）×（﹣3），正确的结果是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
2．（3分）《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（　　）
A．5.758×1010 B．5.758×1011
C．0.5758×1012 D．57.58×1010
3．（3分）如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4，则平移的距离为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（3分）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．（3分）已知直线y＝kx+b经过第一、第二、第三象限，则k，b的取值范围是（　　）
A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞0
6．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的底面圆的周长为（　　）
A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．16πcm
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（3，1）绕原点O逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
8．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．5
9．（3分）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）分解因式am+a＝　 　 ．
12．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　 　 ．
13．（4分）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为　 　 m．
14．（4分）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 　 　 （写出一种情况即可）．
15．（4分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为　 　 Pa．
16．（4分）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S.若a＝2，b＝3，c＝1，则S的值为 　 　 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　 　 ．
18．（4分）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）解不等式组；
（2）计算．
20．（10分）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
（1）若a2＝b2，则a＝b；
（2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy；
（3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
21．（10分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 a 10 9 8 5
（1）表格中a的值为　 　 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数；
（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由．
22．（10分）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
（1）小明到南通博物苑参加社会实践活动；
（2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
23．（10分）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．
已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一 方案二
如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．
（1）求方案一中与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
25．（13分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，5），点A，B关于原点对称．该函数图象上另有两点M1，M2，它们的横坐标分别为m，m+n，其中m＞1，n＞0．依次作直线AM1，BM1与y轴分别交于点C1，D1，直线AM2，BM2与y轴分别交于点C2，D2.记OC1﹣OD1＝d1，OC2﹣OD2＝d2．
（1）若m＝2，求OC1的长；
（2）求代数式（m+n） d2的值；
（3）当m（d1﹣d2）＝2d2，3（d1+d2）＝2n3时，求点D2关于直线AM2对称的点P的坐标．
2025年江苏省南通市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．C
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）
11．a（m+1） 12．x≥3 13．1.2 14．8或6或4
15．3a 16． 17．6 18．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）解：（1）解第一个不等式得：x＜2，
解第二个不等式得：x＜3，
故原不等式组的解集为x＜2；
（2）原式

＝a﹣3．
20．（10分）解：（1）（2）（4）都是假命题．（3）是真命题．
（1）是假命题，反例：当a＝2，b＝﹣2时，结论不成立；
（2）是假命题，反例：当x＝y时结论不成立；
（3）是真命题，证明如下：
设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2
＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1）
＝8k，
∵k为正整数，
∴8k是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍敛．
（4）是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立．
21．（10分）解：（1）a＝50﹣（6+10+9+8+5）＝12，
故答案为：12；
（2）1000120（人），
答：估计该校参加足球活动的学生人数约为120人；
（3）选择甲，
由图知，（8+7+6+7+8+6）＝7，（3+4+7+8+10+10）＝7，
所以，
又因为甲成绩明显比乙成绩更稳定，
所以选择甲（答案不唯一）．
22．（10分）解：（1）图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示，
则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；
（2）列表如下：列表如下：
小丽 小华 ① ② ③ ④
① ①① ①② ①③ ①④
② ②① ②② ②③ ②④
③ ③① ③② ③③ ③④
④ ④① ④② ④③ ④④
共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，
所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为．
23．（10分）（1）证明：如图，连接OP，
∵PA与⊙O相切，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SSS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴OB⊥PB；
（2）解：如图，连接BC，
∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
由（1）可知：∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴∠AOP＝∠OCB，OA2，
∴OP∥BC，
∴S△PCB＝S△OCB，
∴S阴影部分＝S扇形OCB．
24．（12分）解：（1）设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m，
根据题意得x（60﹣2x）＝450，
解得x1＝x2＝15，
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m2，
根据题意得，
∴，
∵，
∴当t＝33时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
25．（13分）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADG∽△CMG，
∴，
∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM，
∴AD＝2CM，
∴，
∴AG＝2GC；
（2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∴BD＝AC＝10，
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，
设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，
∴r＝2，
即IH＝2，
∴点I到BC的距离为2；
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，
设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，
由AB+AC＝2BC得，
在△BCD中，，
∴，
∵GQ∥AB，
∴△CGQ∽△CAB，
∴，
∵AG＝2GC，
∴AC＝3GC，
∴，
∴，
∴GQ＝IH，
∵IH⊥BC，GQ⊥BC，
∴GQ∥IH，
∴四边形GQHI是平行四边形，
∴GI∥BC，
即EF∥BC，
∴，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
∴．
26．（13分）解：（1）设反比例函数的解析式为，
∵A（1，5）在函数图象上，
∴k＝5．
∴．
∴．
设直线AM的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
∵A（1，5），，
∴，
∴点C1的坐标为．
∴．
（2）设直线AM1的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
.∵A（1，5），，
∴AM1的解析式为．
设直线BM1的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0），
∵B（﹣1，﹣5），，
∴BM1的解析式为．
∴，OD1＝5
∴d1.同理，d2．
∴（m+n） d2＝10．
（3）∵m（d1﹣d2）＝2d2，
∴md1＝（m+2） d2．
由（2），得md1＝（m+n） d2＝10．
∴n＝2．
∵3（d1+d1）＝2n3．
∴3（）＝16．
∴m＝3．
∴M2（5，1）．
∵A（1，5），B（﹣1，﹣5），
∴AM2的解析式为y＝﹣x+6，BM2的解析式为y＝x﹣4．
∴C（0，6），D2（0，﹣4）．
又∵M2（5，1），
∴△C2D2M2是等腰直角三角形．
∴点D2关于直线AM2对称的点P的坐标为（10，6）．
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