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26.2 等可能情形下的概率计算
第26章 概率初步
用画树状图形等可能情形下的概率
学习目标
1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.学习运用树状图计算事件的概率.
3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
某校举办“汉字听写”大赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加大赛．如果随机选派两位学生参赛，求四人中恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
问题引入
利用画树状图法求概率
一
问题1 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
P(正面向上)=
问题2 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概
率是多少？
可能出现的结果有
(反，反)
P(正面向上)=
还有别的方法求问题2的概率吗？
(正，正)
(正，反)
(反，正)
合作探究
同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
开始
第2枚
第1枚
正
反
正
反
正
正
结果
(反，反）
(正，正）
(正，反）
(反，正）
P(正面向上)=
列树状图求概率
树状图的画法
一个试验
第一个因素
第二个因素
如一个试验中涉及2个因数，第一个因数中有2种可能情况；第二个因数中有3种可能的情况.
A
B
1
2
3
1
2
3
则其树状图如图.
n=2×3=6
树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
知识要点
问题 教材P99例5的题干.
尝试用树状图法列出小明和小华所玩游戏中所有可能出现的结果，并求出事件A，B，C的概率.
A：“小明胜” B：“小华胜” C：“平局”
合作探究
解:
小明
小华
结果
开始
一次游戏共有9个可能结果，而且它们出现的可能性相等.
因此，P(A)=
事件C发生的所有可能结果：
（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布）.
事件A发生的所有可能结果：
（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；
事件B发生的所有可能结果：
（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；
P(B)=
P(C)=
画树状图求概率的基本步骤
方法归纳
（1）明确一次试验的几个步骤和顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
典例精析
例1 某班有1名男生、2名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有2名男生、2名女生获演奏奖.从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率.
解：设两名领奖学生都是女生的事件为A,两种奖项各任选1人的结果用“树状图”来表示.
开始
获演唱奖的
获演奏奖的
男
女''
女'
女1
男2
男1
女2
女1
男2
男1
女1
男2
男1
女2
女2
共有12种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中2名都是女生的结果有4种，所以事件A发生的概率为P(A)= .
计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数n和求出事件A发生的结果总数m,“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地求出n和m.
例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次.
(1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式);
解:
第二次
第三次
结果
开始：甲
共有8种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同.
乙
丙
第一次
甲
甲
丙
乙
甲
甲
丙
丙
乙
乙
乙
丙
（丙，乙，丙）
（乙，甲，丙）
（乙，丙，甲）
（乙，丙，乙）
（丙，甲，乙）
（丙，甲，丙）
（丙，乙，甲）
（乙，甲，乙）
解：传球三次后，球又回到甲手中，事件A发生可能出现的结果有（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）2种.
(2)指定事件A：“传球三次后，球又回到甲的手中”，
写出A发生的所有可能结果;
(3)求P(A).
解：P(A) =
.
方法归纳
当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树状图法；
当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.
思考： 你能够用列表法写出3次传球的所有可能结果吗？
若再用列表法表示所有结果已经不方便！
练一练
1.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.
第一辆
左
右
左
右
左直右
第二辆
第三辆
直
直
左
右
直
左
右
直
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
共有27种行驶方向
（2）P（两车向右，一车向左）= ；
（3） P（至少两车向左）=
4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.
6
-2
7
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性有3种，所以P(数字相同)=
(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性有4种，所以P(数字之和大于10)=
解：根据题意，画出树状图如下：
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
画树状图求概率的基本步骤
方法归纳
（1）明确一次试验的几个步骤和顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
树状图
步骤
用法
是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.
注意
弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；
③利用概率公式进行计算.
①关键要弄清楚每一步有几种结果；
②在树状图下面对应写着所有可能
的结果；
②在摸球试验一定要弄清“放回”还
是“不放回”.

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