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3.5 认识二元一次方程组
一.学习目标
1．理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；
2．会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；
3．能根据简单的问题情境列二元一次方程组．
二.自主预习
1．下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝0 B．xy+1＝0 C．x2+2x＝3 D．
2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知是方程2x﹣y＝5的一组解，则a的值为 　 　．
【自主归纳】
1．方程都含有 未知数，并且含未知数的项 ，这样的方程叫作二元一次方程.
2． 叫作二元一次方程组.
3．使二元一次方程左右两边的值 叫作二元一次方程的解.
4.二元一次方程组的解必须满足 .
三.探究新知
探究一：二元一次方程
《孙子算经》是我国古心重要的数学著作，成书于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡免同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
问题1 你能找出问题中的两个个等量关系吗？
问题2 若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
问题3 问题2中所列方程有什么特点？它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
问题4 根据“元”和“次”的意义，你能给这两个方程命名吗？
问题5 类比一元一次方程的概念，你能指出二元一次方程的概念吗？
小结 二元一次方程三个特征：
(1)含有两个未知数；(2)所含未知数的项的次数都是1；(3)方程的两边都是整式．
练习
下列方程中，哪些是二元一次方程：_ ____．
x＋3y－9＝0；(2)3－2y＋12＝0；(3)3a－4b＝7；
(4)3x－＝1；(5)3x(x－2y)＝5；(6)－5n＝1.
探究二 ：二元一次方程组
问题1 对于活动一中的问题可以列出x+y＝35和4x＋2y=94这两个方程，其中x的含义是什么？y的含义是什么？两个方程中x，y的含义一样吗？
问题2 x，y是否需要同时满足两个方程？
问题3 两个方程中，一个含几个未指数，未知数的次数是多少？
小结
像这样，只含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组．
练习
判断下列方程组是不是二元一次方程组：
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
探究三 ：探究二元一次方程（组）的解
观察在程组，回答问题：
问题1 满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些 把它们填入表中.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 ... 1
结果：x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；x＝3，y＝32；…；x＝34，y＝1都能使方程的两边相等.
追问 如果不考虑方程的实际意义，那么x，y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
问题2 上表中每一对x，y的值都是方程①的解.你能模仿一元一次方程的解的概念，给二元一次方程的解下定义吗？
追问 从中你能否发现一元一次方程的解与二元一次方程的解的区别？
问题3 上表哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
追问 x＝12，y＝23既是方程①的解，也是方程②的解.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，二元一次方程组的解必须满足什么条件？
问题4 你知道什么是二元一次方程组的解了吗？
追问 什么是解方程组？
探究四：例题讲解
例 小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买的练习本比圆珠笔多花1元.
（1）为了知道练习本、圆珠笔的单价是多少元，你能列出相应的方程组吗？
（2），是列出的二元一次方程组的解吗？
分析 本题中的两个等量关系：
（1）购买笔记本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱=17元；
（2）购买笔记本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱=1元。
四.运用新知
1.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．以为解的一个二元一次方程是_________。
4.是方程组的解吗？
五.达标测试
1．下列方程中，属于二元一次方程的是(　 　)
A．xy－7＝1　　　　　　　　　B．2x－1＝3y＋1
C．4x－5y＝3x－5y D．3x－＝1
2．下列方程组是二元一次方程组的是(　 　)
A. B.C. D.
3．方程组的解是(　 　)
A.， B. C. D.
4.若是x-ky＝1的解，则k＝　　．
5.某项球类比赛，每场比赛需分出胜负，其中胜一场得2分，负一场得1分.某队在全部15场比赛中得到了26分，为了求出这个队胜、负场数分别是多少，请你列出相应的方程组并判断是不是方程组的一个解.
参考答案：
1.B 2.D 3.B 4.﹣1
5.解：设这个队胜x场，负y场，根据等量关系，得
把x用11，y用4分别代入方程①②，方程①的左边=，左方程①的右边＝15，
方程②的左边=，左方程②的右边＝26，
所以是方程组的解.
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情境导入
情境导入
对话：
老牛喘着气吃力地说：“累死我了！”
小马说：“你还累？这么大的个，才比我多驮2个包裹．”
老牛气喘吁吁地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹数就是你的2倍！”
小马天真而不信地说：“真的？！”
壹
情境导入
问题1：根据它们的对话，如何列一元一次方程？
答：设老牛驮了x个包裹，则下马驮（x-2）个包裹，
根据题意，得x+1=2[(x-2)-1].
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
答：①x=y+2；②x+1=2（y-1）.
问题3 这两个方程是什么方程？组合在一起又成了什么？
这就是今天我们要学习的内容？
壹
新知初探
新知初探
探究一 二元一次方程
《孙子算经》是我国古心重要的数学著作，成书于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡免同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
问题2 若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
（1）兔的只数十鸡的只数=35；（2）兔的脚数+鸡的脚数=94.
问题1 你能找出问题中的两个个等量关系吗？
贰
x+y=35,① 4x+2y=94.②
问题3 问题2中所列方程有什么特点？它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
答：不是一元一次方程，方程中含有两个未知数.
问题4 根据“元”和“次”的意义，你能给这两个方程命名吗？
答：二元一次方程.
问题5 类比一元一次方程的概念，你能指出二元一次方程的概念吗？
答：含有两个未知数 ，并且含未知数的项的次数都是1，这样程叫作二元一次方程．
二元一次方程三个特征：
(1)含有两个未知数；
(2)所含未知数的项的次数都是1；
(3)方程的两边都是整式．
小结

练习
看好它们的特征吆
（1）（3）（6）
探究二 二元一次方程组
问题1 对于活动一中的问题可以列出x+y＝35和4x＋2y=94这两个方程，其中x的含义是什么？y的含义是什么？两个方程中x，y的含义一样吗？
答：x表示兔子的数量，y表示鸡的数量，两个方程中x，y的含义是一样的．
问题2 x，y是否需要同时满足两个方程？
答：x，y同时满足两个方程。
既然x，y同时满足两个方程，所以我们把两个方程联立,得
问题3 两个方程中，一个含几个未指数，未知数的次数是多少？
答：一共含两个未知数，未知数的次数都是1.
小结：
像这样，只含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组．
下判断下列方程组是不是二元一次方程组：
答：（1）（3）是二元一次方程组.
练习
看好它们的特征
探究三 ：探究二元一次方程（组）的解
观察在程组，回答问题：
问题1 满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些 把它们填入表中.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 ... 1
结果：x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；x＝3，y＝32；…；x＝34，y＝1都能使方程 的两边相等.
追问 如果不考虑方程的实际意义，那么x，y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
答：还可以取x＝-10，y＝70；x＝-20，y＝80，等等.
问题2 上表中每一对x，y的值都是方程①的解.你能模仿一元一次方程的解的概念，给二元一次方程的解下定义吗？
答：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
追问 从中你能否发现一元一次方程的解与二元一次方程的解的区别？
答：一元一次方程的解只有1个，二元一次方程的解有无数组.
问题3 上表哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
答：x＝12，y＝23满足方程②.
追问 x＝12，y＝23既是方程①的解，也是方程②的解.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，二元一次方程组的解必须满足什么条件？
答：必须适合方程组中的每一个方程.

探究四：例题讲解



当堂达标
当堂达标

2．下列方程组是二元一次方程组的是(　 　)
B
D
叁
B
﹣1

解：设这个队胜x场，负y场，根据等量关系，得
①
②
把x用11，y用4分别代入方程①②，
方程①左边的值是11＋4=15，方程①右边的值也是15，
方程②左边的值是2×11＋4=26，方程②右边的值也是26，
所以 是方程组 的解.



课堂小结
课堂小结
1.二元一次方程（组）：
①含有两个未知数；②含未知数的项的次数是1；③是整式方程.
2.二元一次方程的解：
使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值,二元一次方程的解有无数组.
3.方程组的解：
使每个方程左右两边的值相等
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1，2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第1题

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