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*3.8 三元一次方程组
一.学习目标
1.知道什么是三元一次方程和三元一次方程组.
2.会用“代入消元法”、“加减消元法”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决,感受消元转化的数学思想.
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
二.自主预习
1．解方程组时，要使解法较为简便，应（　　）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常数
2．已知三元一次方程组，则x+y+z＝　 　．
【自主归纳】
1.含有 未知数，并且含未知数的项的 都是1的方程，叫作三元一次方程。
2.含有 未知数，并且含未知数的项的 都是1的方程组叫作三元一次方程组
三.探究新知
探究一：三元一次方程（组）的概念
问题 还记的二元一次方程（组）的概念吗？
问题 你能仿照二元一次方程（组）的概念说一下三元一次方程（组）的概念吗？
追问 三元一次方程组中的每个方程都一定含有三个未知数吗？
小结 三元一次方程组三个特征：
(1)含有三个未知数；(2)所含未知数的项的次数都是1；(3)方程的两边都是整式．
探究二：三元一次方程组的解
问题 对于上述问题，设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，能列出
这个方程组吗？
问题 x，y，z能同时满足上述三个方程吗？
追问 还记的二元一次方程组解的定义吗？
追问 你能根据二元一次方程组的解定义三元一次方程组的解吗？试一试.
探究二 ：三元一次方程组的解法
问题 解二元一次方程组的思路是什么？这种思路适合解三元一次方程组吗？
观察下列三元一次方程组：
问题 观看方程组，你认为哪个未知数的系数比较简单？先消系数较简单的未知数.
问题 类比解二元一次方程组的方法解一下三元一次方程组。
小结
解三元一次方程组的一般步骤：
1.用代入法或加减法，把方程组中的一个方程分别与另外两个方程分别结合，消去同一个未知数，得到关于两个未知数的二元一次方程组；
2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
3.将求得的未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
5.将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。
探究三 ：例题讲解
例1 解三元一次方程组：
例2 解三元一次方程组：
四.运用新知
1．三元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
2．解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（　　）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常数项
3．关于x、y的方程组的解互为相反数，则m＝　 　．
4．解方程组 ：
．
5．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0，1，3时y的值分别是﹣2，0，﹣2，根据上述条件解答下列问题．
（1）c＝　 　；
（2）求a﹣b+c的值．
五.达标测试
1.三元一次方程组的解为（ 　　）
A． B． C． D．
2.已知且x+y＝3，则z的值为（　 ）
A．9 B．﹣3 C．12 D．不确定
3.若是三元一次方程组的解，则k的值是 　 　．
4.方程组的解为 　 　．
5.解方程组：．
6.某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人．三个车间共有多少人？
参考答案：
1.D 2.B 3.﹣15 4.
5.解：，
②+③得：3x﹣y＝7④，
③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤，
①+⑤得：3x﹣3y＝3，即：x﹣y＝1⑥，
④﹣⑥得：2x＝6，
解得：x＝3，
把x用3代入④得：9﹣y＝7，
解得：y＝2，
把x用3，y用2代入①得：3+2+2z＝7，
解得：z＝1，
因此，是原方程组的解．
6.解：设甲车间有x人，乙车间有y人，丙车间有z人，
根据题意得：，
由①可知：zx④，
由②可知：zy，
所以xy，
即16x＝15y⑤．
将④代入③得：（x+y）x＝4，
即y﹣x＝6⑥．
解由⑤⑥组成方程组，得：，
所以zx90＝120，
所以x+y+z＝90+96+120＝306．
答：三个车间共有306人．
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情境导入
情境导入
《前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题：
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.
对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决．这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？
壹
新知初探
新知初探
探究一 三元一次方程（组）的概念
问题 还记的二元一次方程（组）的概念吗？
答 ：含有两个未知数 ，并且含未知数的项的次数都是1，这样程叫作二元一次方程.
像这样，只含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组．
贰
问题 你能仿照二元一次方程（组）的概念说一下三元一次方程（组）的概念吗？
答：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。
含有三个未知数，并且含未知数的项的次都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方程组含有三个方程。
追问 三元一次方程组中的每个方程都一定含有三个未知数吗？
答：不一定，只要三个方程中共有三个未知数就可以.
(1)含有三个未知数；
(2)所含未知数的项的次数都是1；
(3)方程的两边都是整式．
三元一次方程组三个特征：
探究二 三元一次方程组的解
问题 对于上述问题，设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，能列出这个方程组吗？



探究三 三元一次方程组的解法
问题 观看方程组，你认为哪个未知数的系数比较简单？先消系数较简单的未知数.
答：x和y的系数都比较简单.可以先消去x或y来求解.
问题 类比解二元一次方程组的方法解一下三元一次方程组。

解三元一次方程组的一般步骤：
1.用代入法或加减法，把方程组中的一个方程分别与另外两个方程分别结合，消去同一个未知数，得到关于两个未知数的二元一次方程组；
2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
3.将求得的未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
5.将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。
探究三 三元一次方程组的解

解 ③×5－①，得y+4z＝﹣10. ④
③×3-②，得2y+7z＝﹣7. ⑤
④×2－⑤，得z=﹣13，
把z用﹣13代入方程④，得 y=42.
把y用42，z用﹣13代入方程③，得 x=﹣31.
因此，
是原方程组的解.


解 ②×3－①，得x+7z＝﹣12. ④
②+③，得5x－2z＝﹣23. ⑤
④×5－⑤，得37z=﹣37，
两边都除以37，得z=﹣1.
把z用﹣1代入方程④，得 x=﹣5.
把x用-5，z用﹣1代入方程②，得 y=﹣4.

是原方程组的解.
当堂达标
当堂达标
D
B
叁

-11
②+③得：3x﹣y＝7④，
③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤，
①+⑤得：3x﹣3y＝3，
即：x﹣y＝1⑥，
④﹣⑥得：2x＝6，


解得：x＝3，
把x用3代入④得：9﹣y＝7，
解得：y＝2，
把x用3，y用2代入①得：3+2+2z＝7，
解得：z＝1，

是原方程组的解．


课堂小结
课堂小结
1.三元一次方程组满足的条件：
①含有三个未知数；
②含未知数的项的次数是1；
③两边都是整式.
2.解三元一次方程组的基本思路：
三元一次方程组
肆
二元一次方程组
一元一次方程
课后作业
基础题：1.课后练习第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第1题

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