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第3课时 综合运用提公因式法和公式法分解因式
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 先提公因式，再用平方差公式分解因式
1．分解因式结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024邯郸模拟］下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式； 乙同学：原式.
A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确
3．分解因式：
（1） [2024北京］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） [2024齐齐哈尔］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．分解因式：
（1） ；
（2） .
5．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
知识点2 先提公因式，再用完全平方公式分解因式
6．[2024菏泽模拟］下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．分解因式：
（1） [2024达州］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） [2024绵阳］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） [2024通辽］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．分解因式：
（1） ；
（2） .
B组·能力提升 强化突破
9．已知长方形的长为、宽为，周长为16，相邻两边的平方和为14.
（1） 求此长方形的面积;
（2） 求的值.
10．[2024衡阳模拟］【阅读思考】分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，例如,四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.
例1 “两两分组”： 例1解：原式 .
例2 “三一分组”： 例2解：原式 .
【归纳总结】用分组分解法分解因式需要先恰当地分组，然后用提公因式法或公式法继续分解.
请同学们在阅读材料的启发下把下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） .
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．【创新意识】阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法.
（1）二次项系数.
（2）常数项，
验算：“交叉相乘之和”.
①；
②；
③；
④.
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数,
即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫作“十字相乘法”.仿照以上方法，分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
第3课时 综合运用提公因式法和公式法分解因式
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 先提公因式，再用平方差公式分解因式
1．D 2．C
3．（1）
（2）
4．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
5．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
（3） 原式
.
知识点2 先提公因式，再用完全平方公式分解因式
6．A
7．（1）
（2）
（3）
8．解：（1）
.
（2）
.
B组·能力提升 强化突破
9．解：（1），
.
，
.
此长方形的面积为25.
（2） .
10．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．解：（1） .
（2） .
（3）
.17.2 用公式法分解因式
第1课时 用平方差公式分解因式
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 用平方差公式分解因式
1．[2024长沙模拟]下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．分解因式：
（1） [2024德州］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） [2024无锡］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） [2024淮安］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） [2024临夏州］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2023嘉兴、舟山］一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
知识点2 平方差公式的应用
7．[2024长沙模拟］若，，则代数式的值是_ _ .
8．计算：
（1） _ _ _ _ _ _ ;
（2） .
9．如图，在一块边长为的正方形空地的四角均留出一块边长为的正方形区域修建花坛，其余的地方种植草坪.
（1） 用含,的代数式表示草坪的面积；
（2） 先对上述代数式进行因式分解，再计算当，时草坪的面积.
易错点 因式分解不彻底导致出错
10．因式分解：，请问该结果是否正确？若不正确，请写出正确因式分解的结果.
B组·能力提升 强化突破
11．已知，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
12．[2023河北］若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
13．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
14．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为，请你求出大、小两个圆盘的半径.
C组·核心素养拓展 素养渗透
15．【创新意识】观察下面的等式：
;
;
;
（1） 写出的结果为 ;
（2） 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）;
（3） 请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
变式1．【创新意识】[2023成都］定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个“智慧优数”是;第23个“智慧优数”是_ _ _ _ _ _ _ _ .
变式2．【运算能力】计算：.
17.2 用公式法分解因式
第1课时 用平方差公式分解因式
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 用平方差公式分解因式
1．C 2．D 3．A
4．（1）
（2）
（3）
（4）
5．（答案不唯一）
6．解：（1）原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
知识点2 平方差公式的应用
7．4
8．（1）
（2） 40
9．解：（1）草坪的面积为.
（2） .
当，时，
原式.
易错点 因式分解不彻底导致出错
10．解：该结果不正确，正确的结果应是.
B组·能力提升 强化突破
11．D 12．B
13．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
（3） 原式
.
14．解：设大圆盘的半径为,一个小圆盘的半径为.
根据题意，得 ，
即.
，均为正整数，
,也均为正整数，
解得
答：大圆盘的半径为,一个小圆盘的半径为.
C组·核心素养拓展 素养渗透
15．（1） 72
解:（2） .
（3）
，
正确.
变式1 15；
变式2 解：原式
.第2课时 用完全平方公式分解因式
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 用完全平方公式分解因式
1．下列因式分解正确的有（ ）
;
;
.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．分解因式:
（1） [2024盐城］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） [2024常州］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） [2024广元］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） [2024威海］ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．分解因式:
（1） ；
（2） ；
（3） .
4．分解因式：
（1） ;
（2） ；
（3） .
知识点2 完全平方式的概念
5．下列式子为完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
6．多项式加上一个数或单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么从下列数或单项式中可选取的是 （ ）
;;;.
A．② B．③ C．②③ D．①②③④
易错点 完全平方式记忆错误或对完全平方式结构理解不清
7．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（1） 若是完全平方式，则;
（2） 若是完全平方式，则_ _ _ _ _ _ ；
（3） [2023凉山州］若是完全平方式，则的值是_ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升 强化突破
9．多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
10．利用因式分解计算：.
11．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
12．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） .
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．【创新意识】阅读下列材料，并完成相应的任务.
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫作这个多项式的因式分解（也叫作把这个多项式分解因式），它是中学数学中最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.
把多项式分解因式.该多项式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得.这种方法叫作添项法.
任务：
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式:
（1） ；
（2） .
第2课时 用完全平方公式分解因式
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 用完全平方公式分解因式
1．C
2．（1）
（2）
（3）
（4）
3．解：（1）原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
4．解:（1）原式
.
（2） 原式
.
（3） 原式.
知识点2 完全平方式的概念
5．D 6．D
易错点 完全平方式记忆错误或对完全平方式结构理解不清
7．D
8．（1） 36
（2）
（3）
B组·能力提升 强化突破
9．A
10．解:原式
.
11．解：（1）原式.
（2） 原式
.
（3） 原式
.
12．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
（3） 原式
.
（4） 原式
.
（5） 原式
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．解：（1）
.
（2）
.

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