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期末复习
专题1 三角形
题型归类
题型一 三角形的有关概念
例1 如图，在中，是上一点，是上一点.
（1） 以为边的三角形共有_ _ 个，它们分别是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 是 _ _ _ _ _ _ 和 _ _ _ _ _ _ 的内角;
（3） 在中，的对边是_ _ _ _ _ _ .
变式跟进
1．如图，图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
题型二 三角形的三边关系
例2 已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状.
变式跟进
2．已知，，为的三边长.
（1） 化简;
（2） 当，时，求（1）中代数式的值.
题型三 三角形的中线、角平分线、高
例3 如图，是的中线，，，则和的周长之差是_ _ .
变式跟进
3．如图，用一副三角板作的高线，下列三角板的摆放位置不正确的是（ ）
A B C D
4．如图，是的中线，是上的一点，且，连接.若，则图中阴影部分的面积是_ _ .
题型四 三角形的内角和与外角
例4 如图，在中， ，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则= .
例5如图，在中，平分交于点，,分别在,的延长线上，，.
（1） 求证：;
（2） 若，的度数比的度数大 ，求的度数.
变式跟进
5．[2024邵阳模拟］如图①，已知两条直线，被直线所截，分别交，于点，，平分交于点，且.
（1） 判断直线与直线是否平行，并说明理由.
（2） 如图②，是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设 ， .
① 当点在点的左侧时，若 ，则 的度数为 .
② 在点的运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明.
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．如图所示的图形中，三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．下列长度的3根小木棒不能首尾相连围成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024安康模拟］如图，在中，是的一个外角，其中， ， ，则的度数是_ _ _ _ _ _ .
5．如图，在中，，.
（1） 求边的取值范围;
（2） 已知是的中线，若的周长为10，求的周长.
6．[2024祁阳模拟］如图，点在上，点在上，，相交于点.
（1） 若 ， ， ，求的度数；
（2） 试猜想与之间的关系，并证明你的猜想.
B组·能力提升 强化突破
7．如图，在中，是高，.
（1）求的度数;
（2）若是的角平分线，，相交于点，求证：.
8．如图，已知，分别平分和.探索与，之间的数量关系，并证明你的结论.
9．[2024衡阳模拟］定义：如果两个角的差为 ，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫作另一个角的“创新角”.
例如， ， ， ，则 和 互为“创新角”，即 是 的“创新角”， 也是 的“创新角”.
（1） 已知和互为“创新角”，且，若和互补，则_ _ _ _ _°.
（2） 如图①，在中， ，过点作的平行线，的平分线分别交，于点，.
① 若，且和互为“创新角”，则_ _ _ _ _ _° ；
②过点作的垂线，垂足为，，相交于点，若和互为“创新角”，求的度数；
③ 如图②，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
期末复习
专题1 三角形
题型归类
题型一 三角形的有关概念
例1 （1） 3； ,,
（2） ；
（3）
变式跟进
1．B
题型二 三角形的三边关系
例2 解:，
，，
解得，.
为方程的解，
，
解得或.
,,为的三边长，，
不合题意,舍去，
，
的周长为，是等腰三角形.
变式跟进
2．解：（1），，为的三边长，
，.
.
（2） 当，时，
.
题型三 三角形的中线、角平分线、高
例3 3
变式跟进
3．C
4．2
题型四 三角形的内角和与外角
例4
例5 （1） 证明：，.
平分，
.
，，
,.
（2） 解：设，则.
,
，
,
.
,
.
,,
，
解得 ，
.
变式跟进
5．解：（1） .理由如下：
平分，
.
，
，
.
（2） ①
② 猜想： 或 .证明如下：
Ⅰ.当点在点的左侧时，如题图②.
，
，
.
平分，
.
平分，
，，
.
，
，
，
.
Ⅱ.当点在点的右侧时，如答图.
变式跟进5答图
，
.
平分,
.
平分,
，
.
，
，
，
即 .
综上所述， 与 的数量关系是 或 .
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．C 2．B 3．A
4．
5．解:（1）由题意，得，
.
（2） 是的中线，
.
的周长为10，
.
，
，
的周长为.
6．解：（1） ， ，
.
，
.
（2） .
证明：，
.
B组·能力提升 强化突破
7．（1） 解： 在中，是高，，
， ，
，
.
（2） 证明：是的角平分线，
.
，且由（1）知 ，
，
，
.
又，
.
8．解：.
证明：根据三角形的内角和定理，得
，
.
同理，.
，分别平分和，
，，
，
.
9．（1）
（2） ①
解：②设.
和互为“创新角”，
或 .
当 时，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
解得 ，
；
当 时，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
解得 ，
.
综上所述，的度数为 或 .
③ 或

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