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专题2 全等三角形
题型归类
题型一 全等三角形的概念与性质
例1 如图，已知，，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
1．如图，， ， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，有下列结论：;;;.其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 全等三角形的判定与性质
例2 [2023衡阳模拟］如图，在和中，，，且，点在边上.过点作，连接.求证：
（1） ;
（2） .
变式跟进
3．如图，点在上，，相交于点，，，.
（1） 求证：;
（2） 若 ，求的度数.
4．如图，已知，，，四点在同一直线上，，，.
（1） 写出图中所有的全等三角形;
（2） 选择其中一对，说明全等的理由.
5．如图，在四边形中，，.
（1） 求证：;
（2） 设对角线，相交于点,，，垂足分别是，,请直接写出图中所有的全等三角形.
6．如图，，相交于点，， .
（1） 求证：;
（2） 若 ，求的度数.
7．如图①，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便.图②为其示意图，为柜壁，为柜门，点，为支撑杆摆臂固定点，点为滚轮，，均为支撑杆摆臂，且.为了使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证即可.
（1） 求证：平分.
（2） 因空间受限，在摆臂夹角任意角度下，柜门展开角均不能大于 ，问安装支撑杆时，的长度至少为多少厘米才能实现？
题型三 角的平分线的性质
例3 [2024衡阳模拟］如图，在中， ，是的平分线，于点，点在上，.求证：
（1） ;
（2） .
变式跟进
8．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直.若，则点到的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．如图，在中，是的平分线，于点，， ，，求的长.
题型四 全等三角形的开放探究型问题
例4 如图，在中，，，垂足分别为，，且与相交于点，请你添加一个适当的条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使.
变式跟进
10．如图，已知，添加一个条件使，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知， ，与相交于点，连接，.
（1） 不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形;
（2） 求证：.
题型五 与全等三角形有关的动点问题
例5 [2024长沙模拟］如图，在中，， ，点在线段上运动（点不与点,重合），连接，作 ，交线段于点.
（1） 当 时，_ _ _ _ _ _° ，_ _ _ _ _ _° .
（2） 线段的长度为多少时，？请说明理由.
（3） 在点的运动过程中，可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由.
变式跟进
12． [2024常宁模拟］如图，已知在中，,,为的中点.
（1） 如果点在线段上以的速度由点向点运动；同时，点在线段上由点向点运动.
① 若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等 请说明理由.
② 若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使和全等？
（2） 若点以中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动，则经过后，点与点第一次在的边_ _ _ _ _ _ 上相遇.
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．如图，已知，则与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
2．在和中，已知，，下列说法错误的是（ ）
A．若添加条件，则
B．若添加条件，则
C．若添加条件，则
D．若添加条件，则
3．已知是的三条内角平分线的交点.若的周长为,面积为，则点到的距离为_ _ .
4．如图，在中， ，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边,于点,；再分别以点,为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点.若，，则的面积为_ _ .
5．如图，在中，， ，为的延长线上一点，点在上，且.
（1） 求证：;
（2） 若 ，求的度数.
B组·能力提升 强化突破
6． [2023株洲模拟］如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点，.
（1） 求证：;
（2） 求证：;
（3） 若四边形的面积为32，，求点到边的距离.
7．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等.（提示：先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）
8．如图，在四边形中，， ，，分别是，上的点，且，探究线段,和之间的数量关系，并说明理由.
9． [2024浏阳模拟］在中，，，将线段绕点逆时针旋转 得到线段.
（1） 如图①，直接写出的度数（用含 的式子表示）；
（2） 如图②， ， ，判断的形状，并加以证明；
（3） 在（2）的条件下，连接，若 ，求 的度数.
专题2 全等三角形
题型归类
题型一 全等三角形的概念与性质
例1 D
变式跟进
1．A 2．C
题型二 全等三角形的判定与性质
例2 证明：（1），
，
.
在和中,
.
（2） ，
，.
，
，
.
，
，
，
,
.
变式跟进
3．（1） 证明：，
，
即.
在和中，
.
（2） 解:由（1）可知，
.
，
，
.
，
.
4．解：（1），，.
（2） 任选一对即可，若选择.理由如下：
，
.
，
，
.
在和中，
.
5．（1） 证明：在和中，
，
.
（2） 解：图中的全等三角形有，，，，.
6．（1） 证明： ，
和都是直角三角形.
在和中，
.
（2） 解:，
.
，
，
.
7．（1） 证明：在和中，
，
，
平分.
（2） 解：由题意，知当时，的度数最大.
柜门展开角不能大于 ，
最大为 .
当 ，时，如答图,
变式跟进7答图
由（1）知平分，
，
,
的长度至少为才能实现.
题型三 角的平分线的性质
例3 （1） 证明：是的平分线，， ，
.
在和中，
，
.
（2） 由（1）可知，
在和中，
，
，
.
变式跟进
8．C
9．解：如答图，过点作于点.
变式跟进9答图
在中，， ，
.
是的平分线，，，
.
，
，
，
解得.
的长为7.
题型四 全等三角形的开放探究型问题
例4 或或
【点悟】 判定两个三角形全等的一般方法有“”“”“”“”“”.添加条件时注意“”“”不能判定两个三角形全等，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
变式跟进
10．D
11．（1） 解：图中其他的全等三角形为，.
（2） 证明：，
，，，
，
即，
，
，.
又，
.
又，
，
.
题型五 与全等三角形有关的动点问题
例5 （1） ；
解：（2）当时，.
理由如下：，，
.
，
.
，
，
.
在和中，
.
（3） 当的度数为 或 时，是等腰三角形.
①当时， ，
；
②当时， ，
，
此时，点与点重合，不合题意；
③当时， ，
.
综上所述，当的度数为 或 时，是等腰三角形.
变式跟进
12．解：（1） ①.理由如下:
,
.
,为的中点，
.
又，,
,
.
又，
.
在和中，
.
② 点的运动速度与点的运动速度不相等，
.
又和全等，，
,,
点，点运动的时间为,
点的运动速度为.
（2） 24；
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．C 2．B
3．3
4．5
5．（1） 证明: ，
.
在和中，
.
（2） 解: ，，
.
由（1）知，，
.
，
,
.
B组·能力提升 强化突破
6．（1） 证明：，
，.
是的中点，
.
在和中，
，
.
（2） 证明：由（1）知，，
，.
，
是的垂直平分线，
,
.
（3） 解：设点到的距离为.
，
，，
.
，
.
,,
，
,
点到的距离为.
7．解：已知：如答图，在和中，，，是的中线，是的中线，.
第7题答图
求证：.
证明：，是的中线，是的中线，
.
在和中，
，
.
在和中，
.
8．解：.理由如下：
如答图，延长线段到点，使，连接.
第8题答图
， ，
.
在和中，
，
，.
又，
，
.
在和中，
，
.
又，
.
9．（1） 解：， ，
.
， ，
.
（2） 是等边三角形，
证明：连接，，，如答图.
第9题答图
线段绕点逆时针旋转 得到线段，则， ，
.
,,
,
，且为等边三角形，
.
在和中，
，
.
，
，
.
在和中,
，
.
又 ,
是等边三角形.
（3） ， ，
.
，
是等腰直角三角形，
，
.
.
，
.

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