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专题3 轴对称
题型归类
题型一 轴对称及轴对称图形
例1 [2023重庆模拟］下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
变式跟进
1．如图，已知和关于直线对称，小明观察图形得出下列结论：;;③直线垂直平分线段.其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点均在方格的顶点上.
（1） 点关于轴对称的点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，点关于轴对称的点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 画出与关于轴对称的;
（3） 画出与关于轴对称的.
题型二 折叠与轴对称
例2 如图，对折长方形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平，再一次折叠，使点落到上的点处，并使折痕经过点，展平纸片后的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式跟进
3．如图，将折叠，使点与的中点重合，折痕为.若，，则的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
题型三 线段的垂直平分线的性质
例3 如图，已知的周长是14，，线段的垂直平分线交于点，交于点.求和的长.
变式跟进
4．如图，在中，，， ，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1） 求的度数;
（2） 求的周长.
题型四 等腰三角形的性质
例4 如图， ， ， ，，，四点共线，，.求，，的度数.
变式跟进
5．如图，在中， ， ，以点为圆心，的长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．如图，在中，是边上一点，连接，已知， ，则的度数是 .
题型五 等腰三角形的判定
例5 [2024长沙模拟］如图，在中，，是边的中点，连接，平分交于点.
（1） 若 ，求的度数；
（2） 过点作交于点，求证：是等腰三角形;
（3） 在（2）的条件下，若平分的周长，的周长为15，求的周长.
变式跟进
7．如图，在和中， ， ，则图中等腰三角形的个数是_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于点，交于点，且.
（1） 求证：是等腰三角形;
（2） 若，，求的长.
题型六 等边三角形的性质与判定
例6 [2024长沙模拟］如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，与相交于点，连接.
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 若，求的长.
变式跟进
9．[2024长沙模拟］如图，在中，， ，，垂足为，且 ，其两边分别交边，于点，.求证：
（1） 是等边三角形；
（2） .
10．如图，在中，，点在边上，，，是的延长线上一点，.
（1） 求的度数;
（2） 求证：是等边三角形.
题型七 含 角的直角三角形的性质
例7 如图，在中， ， ，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接.
（1） 求证：;
（2） 若，求的长.
变式跟进
11．已知等腰三角形的顶角是 ，底边上的高是3，则腰长是_ _ .
12．如图，已知 ，平分，为上任意一点，交于点，于点.若，求的长.
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．如图，在中，， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则以，为边长的等腰三角形的周长为_ _ _ _ _ _ .
3．已知是等腰三角形,若 ，则的顶角度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．如图，在中，，于点，于点，于点，，则_ _ .
5．如图，在四边形中，，， ， ， ，求的长.
6．如图，在中，，，的面积为12，线段的垂直平分线交于点.若为边的中点，为线段上的一动点，求的周长的最小值.
7．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接，交于点，.
（1） 求证：是等腰三角形;
（2） 若 ，，求的度数.
B组·能力提升 强化突破
8．如图，在中， ， ，.动点,同时从,两点出发，分别在,边上匀速移动，它们的速度分别为,.当点到达点时，,两点同时停止运动，设点的运动时间为.
（1） 当为何值时，是等边三角形？
（2） 当为何值时，是直角三角形？
9．[2025长沙模拟］如图，已知，都是等边三角形，，相交于点，，分别是线段，的中点.
（1） 求证：；
（2） 求的度数；
（3） 求证：是等边三角形.
专题3 轴对称
题型归类
题型一 轴对称及轴对称图形
例1 A
变式跟进
1．A
2．（1） ；
（2） 解：如答图，即为所求作.
变式跟进2答图
（3） 如答图，即为所求作.
变式跟进2答图
题型二 折叠与轴对称
例2 C
变式跟进
3．A
题型三 线段的垂直平分线的性质
例3 解:是线段的垂直平分线，
.
的周长是14，
，即，
则
，.
【点悟】（1）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;（2）欲证明线段相等，可通过证明三角形全等或用线段的垂直平分线的性质得到.
变式跟进
4．解：（1）， ，
.
又是线段的垂直平分线，
，
，
.
（2） ，
，
的周长为.
题型四 等腰三角形的性质
例4 解：，.
，
.
，
.
，
，
.
变式跟进
5． 或
6．【解析】，
.
，
.
，
.
又是的一个外角，
，
，
.
题型五 等腰三角形的判定
例5 （1） 解：，
.
，
.
，为的中点，
，
，
.
（2） 证明：平分，
.
又，
，
，
，
是等腰三角形.
（3） 解：的周长为15，
.
，
，
即，
平分的周长，
，
的周长为.
变式跟进
7．
8．（1） 证明：，
，.
平分，
，
，
，
是等腰三角形.
（2） 解：是的中点，
.
，
.
在和中，
,
.
，
.
题型六 等边三角形的性质与判定
例6解： （1）是等边三角形.理由如下：
是等边三角形，且，，
，，，,
，是等边三角形.
（2） 是等边三角形，,，
平分,平分， ,
，
.
， ,
，
，
.
变式跟进
9．证明：（1），，
.
，
.
又，
是等边三角形.
（2） 是等边三角形，
，.
，
，
，
.
在和中，
，
.
10．（1） 解：，
，
.
，
.
.
又，
， ,
,
.
（2） 证明：，，
是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形.
由（1）知 ,
是等边三角形.
题型七 含 角的直角三角形的性质
例7 （1） 证明:是线段的垂直平分线，
，
.
， ，
，
,
,
是的平分线.
，，
.
（2） 解:， , ,
,
.
变式跟进
11．6
12．解：如答图，过点作于点.
变式跟进12答图
，平分，
.
，
，
，
.
，
，
在中，.
平分，，，
.
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．A
2．11或13
3． 或
4．6
5．解：如答图，延长，交于点.
第5题答图
， ，
.
，
，
，
是等边三角形.
设.
，，
,.
由 , ，
得，
解得，
的长为2.
6．解：如答图，连接，.
第6题答图
是等腰三角形，是边的中点，
，
，
解得.
是线段的垂直平分线，且点在线段上，
，
，
当点，，在同一直线上时，的长度最小，即为的长.
的周长最小值为.
7．（1） 证明：，，，
，
，
.
,
，
即，,
是等腰三角形.
（2） 解：， ，
.
由（1）知，
，
,
是等边三角形，
，
，
.
B组·能力提升 强化突破
8．解:（1）在中， ， ，
.
，
，,.
当时，是等边三角形,
即,
解得.
当的值为2时，是等边三角形.
（2） 若是直角三角形，有以下两种情形:
①当 时，，
即,
解得;
②当 时，，
即，
解得.
综上所述，当的值为1.5或2.4时，是直角三角形.
9．（1） 证明：，都是等边三角形，
，， ，
，
.
在和中,
，
.
（2） 解：，
.
是等边三角形，
，
，
.
（3） 证明：，
，，.
又,分别是线段,的中点，
，，
.
在和中,
，
，.
又 ，
，
，
，
是等边三角形.

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