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专题5 因式分解
题型归类
题型一 因式分解的概念
例1 [2024常德模拟］下列算式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 分解因式
例2 分解因式:
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
变式跟进
1．下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则代数式的值为_ _ .
3．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
4．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ;
（4） ；
（5） .
题型三 因式分解的探究型问题
例3 定义：，，为正整数，若，则称为“完美勾股数”，，为的“伴侣勾股数”. 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”.
（1） 数10“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
（2） 已知的三边长，，满足,求证：是“完美勾股数”;
（3） 已知，且，，，，为“完美勾股数”，，为的“伴侣勾股数”,多项式有一个因式为，求该多项式的另一个因式.
变式跟进
5．[2023资阳模拟］阅读材料1：若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则称这个数为“风月同天数”，与是的一个平方差分解.例如，因为，所以5是“风月同天数”，叫作5的平方差分解.
阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫作“摆动数”.例如，自然数12 121 212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12 121 212是“摆动数”；再如，656，，，， 都是“摆动数”.
（1） 在7和2中是“风月同天数”的是_ _ ；
（2） 已知，是正整数，是常数，且，要使是“风月同天数”，试求出符合条件的一个的值,并说明理由；
（3） 对于一个三位数，的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出的所有平方差分解.
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．[2024郴州模拟］下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024邵阳模拟］多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．把多项式提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C．2 D．
4．[2024衡阳模拟］计算：（ ）
A．100 B．150 C．10 000 D．22 500
5．[2024娄底模拟］下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024郴州模拟］分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2024临湘模拟］分解因式：
（1） ;
（2） .
8．[2024常德模拟］分解因式：
（1） ；
（2） .
9．[2024张家界模拟］已知，，求的值.
B组·能力提升 强化突破
10．[2024邵阳模拟］定义一种运算：，例如，
（1） 计算：；
（2） 将（1）计算所得的多项式分解因式.
11．[2024醴陵模拟］观察下面的因式分解过程：
.
利用上述方法，解决下列问题：
（1） 分解因式：；
（2）若 的三边,,满足，请判断的形状.
12．[2024邵阳模拟］定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么形如,为实数的数就叫作复数，叫作这个复数的实部，叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如，计算：.
（1） 填空：_ _ _ _ _ _ ，_ _ .
（2） 计算：
① ；
② .
（3） 若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，已知,,为实数，求,的值.
（4） 请你参照这一知识点，将为实数因式分解成两个复数的积.
13．[2024娄底模拟］阅读理解.
材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且,则可以把因式分解成,例如，，.
材料2 分解因式：.
解：将“”看成一个整体，令，则原式,再将“”还原，得原式.上述解题过程用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.
请你解答下列问题：
（1） 根据材料1，将分解因式.
（2） 结合材料1和材料2，分解因式：
① ；
②.
专题5 因式分解
题型归类
题型一 因式分解的概念
例1 B
题型二 分解因式
例2 （1）
（2）
变式跟进
1．C
2．0.36
3．解：（1）原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
4．解：（1）原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
（5） 原式.
题型三 因式分解的探究型问题
例3 （1） 是
（2） 证明：,
，
.
，，，
,,,
,,，
，
是“完美勾股数”.
（3） 解：由题意,得，
，
，
，
，
.
又,，，
，即，
，
有一个因式为，
，
另一个因式为.
变式跟进
5．（1） 7
解：（2）是“风月同天数”，
,
.
（3） 根据题意，得或.
当时，设,均为正整数，且,
,
则，
，，
解得，，
则；
当时，设,均为正整数，且,
,
则，
若，，
解得，，
则,不是正整数，不符合题意，这种情况不存在；
若，，
解得，，
则,是正整数，符合题意，.
若，，
解得，，
则,不是正整数，不符合题意，这种情况不存在.
综上所述,的所有平方差分解为：或，因此，96与95是的平方差分解,74与72是的平方差分解.
过关训练
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．D 3．D 4．C 5．C
6．
7．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
8．解：（1）原式
，
（2） 原式
.
9．解：.
，，
原式.
B组·能力提升 强化突破
10．解：（1）根据题意，得
.
（2）
.
11．解：（1）
；
或
.
（2） ，
，
，
，
或，
或,
是等腰三角形.
12．（1） ； 2
解：（2） ① ；
② .
（3） ,
,,
，.
（4） .
13．解：（1） .
（2） ① 令,
则原式，
.
② 令,
则原式
，
原式
.

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