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第十七章 因式分解 质量评估
［时量：120分钟 分值：120分］
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．多项式可分解为，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．6
4．下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（ ）
A． B． C． D．
7．如果，那么代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，,3，，,分别对应下列六个字：学、爱、我、趣、味、数.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱数学 C．趣味数学 D．我爱数学
9．将多项式进行因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
10．若可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数分别是（ ）
A．24，26 B．25，27 C．26，28 D．27，29
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．一个二次二项式因式分解后其中一个因式为,写出满足条件的一个二次二项式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．把多项式分解因式的结果是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．若，，则代数式的值是_ _ _ _ _ _ .
16．已知立方差公式为，如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.例如，，，则2和26均为“和谐数”.在不超过2 024的正整数中，所有的“和谐数”之和为_ _ _ _ .
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
18．（6分）把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） .
19．（6分）把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） .
20．（8分）已知的三边长,,满足等式.求证：是等腰三角形.
21．（8分）阅读材料：把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫作分组分解法.
（1） 请用上述方法分解因式：；
（2） 已知，，求代数式的值.
22．（9分）观察下列等式：
；
；
；
；
……
（1） 发现结论：两个连续偶数的平方和是4的_ _ 倍（填“偶数”或“奇数”）；
（2） 逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为为整数，请证明（1）中结论的正确性.
23．（9分）设，，.求：
（1） 的值；
（2） 的值.
24．（10分）阅读下列材料.
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使多项式的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）.
请根据上述材料，解答下列问题：
（1） 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_ _ _ _ _ _ ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2） 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 请你用换元法对多项式进行因式分解.
25．（10分）特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取式子中某个未知数为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法.综合实践课上田老师展示了如下例题.
例：已知多项式 有一个因式是，求 的值.
解：由题意，设 为整式，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取，
则，解得 .
【数学思考】
（1） “”处的值为；
【方法应用】
（2） 已知多项式有一个因式是，求的值；
【深入探究】
若多项式有因式和，求,的值.
第十七章质量评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．D
2．C
3．D
4．B
5．D
6．D
7．B
8．D
9．B
10．A
[解析] ，
可以被20到30之间的24和26两个整数整除，故选.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．；
12．（答案不唯一）
13．
14．
15．
16．6 860
[解析]设两个连续奇数分别为,，则
.
由，得
其中为非负整数，，1，2，3， ，8，9，即所有不超过2 024的“和谐数”，它们的和：
.
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解：（1）原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
18．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
19．解：（1）原式
.
（2） 原式
.
20．证明：,
，
即.
,
,
.
,,为三角形的三边长，
,,
,
是等腰三角形.
21．解：（1）原式
.
（2） ，，
原式
.
22．（1） 奇数
（2） 证明：在两个连续偶数中，设较小的数为为整数，则较大的数为，
.
是偶数，是奇数，
是奇数，
两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.
23．解：（1）,
,
.
,
.
，,
,
.
（2） ,
,
.
,
,
的值为98.
24．（1） C
（2）
（3） 解：设,
则原式，
，
，
，
.
25．（1） 24
解：（2）由题意，设为整式，
令，即，代入上式，
得，解得.
（3） 由题意，设为整式，
由于上式是恒等式，为了方便计算，
取，得，
即.
取，得，
即，
联立
解得
，.

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