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第十三章 三角形 质量评估
［时量：120分钟 分值：120分］
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．我国建造的港珠澳大桥全长55 km，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
2．若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．袁老师在课堂上组织学生用小木棍摆三角形，小木棍的长度有,,和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，则第三根木棍不可能取（ ）
A． B． C． D．
4．如图，分别过的顶点，作,交于点.若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．将一副直角三角板按如图位置摆放.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，若 ， ， ，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，,分别是的角平分线和高线.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．将一副直角三角板如图放置，使含 角的三角板的短直角边和含 角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
10．在图①②③中， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知三角形的三边长分别是8,10,,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．将一副直角三角板如图所示放置，使点在上，， ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
13．如图，在中，,是的角平分线， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
14．如图，在中， ， ，是边上的高，是的平分线，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
15．已知在中，,,是三角形的三边长，且,,都是整数.化简：_ _ _ _ _ _ .
16．两个直角三角形积木和按如图所示摆放在水平桌面上，已知 ， ，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点处，则_ _ _ _ _ _ .
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以为顶点的角.
18．（6分）一个三角形的两边长，.
（1） 当各边均为整数时，有几个三角形？
（2） 若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
19．（6分）如图，在中， ， ， .
（1） 求的度数；
（2） 若，求的度数.
20．（8分）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多1，与的和为11．
（1） 求,的长;
（2） 求边的取值范围．
21．（8分）如图，在中，是角平分线，是高， ， ，，垂足为.
（1） 求的度数；
（2） 求的度数；
（3） 若 ，，请直接写出的度数（用含 ， 的代数式表示）.
22．（9分）如图①，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则.
，
.
（1） 请证明上文中的.
（2） 如图②，在中，如果，能否证明？小敏同学提供了一种方法：将折叠，使点落在点上，折痕交于点，交于点，再运用三角形三边关系即可证明.请你按照小敏的方法完成证明.
23．（9分）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交直线于点.
（1） 若 ， ，求的度数;
（2） 当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明.
24．（10分）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点.
（1） 若是中线，，，则与的周长的差为_ _ ；
（2） 若 ，是高，求的度数；
（3） 若 ，是角平分线，求的度数.
25．（10分）如图，在中， .
（1） 分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点(如图)，则_ _ _ _ _ _ ；
（2） 分别作与的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点，求的度数；
（3） 在（2）的条件下，射线在的内部，且.设与的交点为，射线在的内部，且，射线与交于点，若，和满足的数量关系为，请直接写出,的值.
第十三章质量评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．B 2．A 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解：图中共有7个三角形，分别为，，，，，，；以为顶点的角是，，，，，.
18．解：（1）设第三边长为,则，
由于三角形的各边均为整数，则或7或8，因此有三个三角形.
（2） ①当为腰时，，不能构成三角形， 不成立；
②当为腰时，，能构成三角形，此时三角形的周长为.
当此三角形是等腰三角形时，其周长是16.
19．解：（1）， ， ，
.
，
，
.
（2） ， ，
，
，
.
20．解：（1）是边上的中线，
，
的周长的周长，
即.①
又，②
,得，解得，
，得，解得，
,的长分别为6,5.
（2） ，，
．
21．解：（1） ， ，
.
平分，
.
（2） 是的高，
.
，
，
.
，
.
（3） ， ，
.
平分，
.
，
，
.
22．证明：（1），
.
（2）在中，.
由折叠的性质,得，
，
即.
23．解：（1） ， ，
.
平分，
，
.
，
，
.
（2） .
证明：如答图，设 ， .
第23题答图
平分，
.
，
，
，
.
，
，
，
即
24．（1） 1
（2） 解：是的高，
.
，是的角平分线，
，
.
（3） ，
.
，是的角平分线，
，，
，
.
25．（1）
解：（2）设 ，平分，
.
，
.①
同理可得：，
,
把②代入①，得 ,
，
即 .
（3） 如答图，设 .
第25题答图
平分，
.
，
，
，
，
，
.④
把③代入④，得,
.
，
，
解得

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