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第十五章 轴对称 质量评估
［时量：120分钟 分值：120分］
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线,等边三角形的两个顶点，分别落在直线,上.若 ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．如图，在中，是的中点，.若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（ ）
A． B．
C． D．以上都可以
5．如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点.若，，，则的周长是（ ）
A．17 B．18 C．20 D．22
6．在和中， ，，，已知 ，则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
7．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为（ ）
A．15 B．9 C．16 D．31
8．如图，在中，，的顶点，分别在，上，且 ，.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等边三角形中，是三个内角平分线的交点，，，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，在中， ，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：
；垂直平分线段；；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知 ， ，，则的长为_ _ .
12．如图，已知四边形与四边形关于直线对称，四边形的周长为， ，则四边形的周长为，的度数为_ _ _ _ _ _ .
13．如图，将三个形状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置， ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
14．如图，在中，，于点，于点.若 ，则_ _ _ _ _ _ .
15．如图，在四边形中，．设 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）.
16．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，是直线上一动点，为的中点.若，的面积是30，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）求证：等腰三角形两腰上的高相等.
根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整.
已知：如图，在中，,，，垂足分别为，.
求证：_ _ _ _ _ _ _ _ .
证明：……
18．（6分）如图，在中，以为边作等边三角形（点，在边的同侧），连接.若 ， ，求的度数.
19．（6分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，.
（1） 若，求的周长；
（2） 若 ，求的度数.
20．（8分）如图，在中，， ，平分交于点，过点作，交的延长线于点.
（1） 求的度数;
（2） 求证：是等腰三角形.
21．（8分）如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点.
（1） 求证：;
（2） 若，求证：.
22．（9分）如图，在中， ，，为的中点，点在线段上，交于点，.
（1） 求的度数；
（2） 求的周长.
23．（9分）如图，在等腰中， ，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交AD于点G.
（1） 求证：；
（2） 连接，试判断的形状，并说明理由.
24．（10分）定义：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”.
（1） 如图①，在中， ，，请写出图中两对“等角三角形”;
（2） 如图②，在中，为的平分线， ， ，求证：为的“等角分割线”;
（3） 在中，若 ，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数.
25．（10分）如图，在中，,现有两动点，分别从点,同时出发，沿三角形的边运动，已知动点的速度为,动点的速度为.当点第一次到达点时，点，同时停止运动.
（1） 点，运动几秒时，，两点重合？
（2） 点，运动几秒时，可得到等边三角形？
（3） 当点，在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点，运动的时间.
第十五章质量评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．4
12．12；
13．
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．； ；
解:证明：，
.
，，
.
在和中，
，.
18．解：是等边三角形，
，.
，
.
在和中，
，
，
.
19．解:（1）是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
的周长为.
（2） ，
.
，，
，，
，
.
20．（1）解:， ，
.
平分，
，
.
（2） 证明：，
.
， .
，
，
，
是等腰三角形.
21．（1） 证明：为的中点，.
，
，.
在和中，
.
（2） 为的中点，，
直线为线段的垂直平分线，
.
由（1）可知，
，
.
22．解：（1），
是等腰三角形，.
又 ，
.
又为的中点，
平分，
.
（2） ，
.
又，
，
，
的周长为.
，，
的周长为.
23．（1） 证明：在等腰中，
，
.
又，
.
.
又，
.
.
.
又为的中点，
，
即.
在和中，
，
.
又 ，
.
,
即.
（2） 解：是等腰三角形.理由如下：
连接，如答图所示.
第23题答图
由（1）知，.
是等腰直角三角形，且是的平分线，
垂直平分，
.
，
，
是等腰三角形.
24．（1） 解： ，，
， ，
，，
与,与,与是“等角三角形”.（任意写出两对“等角三角形”即可）
（2） 证明：在中， ， ，
.
为的平分线，
，
，，
，
是等腰三角形.
在中， ， ，
，
，
与是“等角三角形”，
为的“等角分割线”.
（3） 解：根据题意，分以下四种情况：
Ⅰ.当是等腰三角形，时，如答图①， ，
第24题答图① 第24题答图②
;
Ⅱ.当是等腰三角形，时，如答图②， ， ，
;
Ⅲ.当是等腰三角形，时，如答图③，，
第24题答图③
;
Ⅳ.当是等腰三角形，时，如答图④,
第24题答图④
.
设,则,
,
由三角形的外角性质,得，
即,
解得，
.
综上所述，的度数为 或 或或.
25．解：（1）设点，运动时，,两点重合，
则,
解得.
点，运动时，，两点重合.
（2） 设点，运动时，可得到等边三角形，如答图①，
第25题答图①
则,.
是等边三角形，
,
解得.
点，运动时，可得到等边三角形.
（3） 当点，在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形.
由（1）知时，，两点重合，恰好在处.
如答图②，假设是等腰三角形，
第25题答图②
，
，
.
，
是等边三角形，
.
在和中，
，
，
设当点,在边上运动，,运动的时间为时，是等腰三角形，
，.
，
,
解得.故假设成立.
当点,在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时点,的运动时间为.

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