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2024-2025 学年新疆哈密十五中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 ( ) = 2 2 + 32 ，当自变量 由 2 变到 2.5 时，函数的平均变化率是( )
A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11
2.已知函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程为 3 2 = 0，则 (1) + ′(1) =( )
A. 8 B. 3 C. 4 D. 4
3 ( | ) = 1 1.若 9， ( ) = 3，则 ( )的值是( )
A. 127 B.
1
3 C.
1 1
9 D. 4
4.( + 2 )5的展开式中含 2 3项的系数为( )
A. 10 B. 40 C. 80 D. 120
5.下列函数中，在(2, + ∞)内为增函数的是( )
A. = 3 B. = ( 3) C. = 3 15 D. =
6.用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，要求数字 1 和 4 相邻，则这样的六位数的个数为( )
A. 192 B. 240 C. 360 D. 720
2
7 .已知函数 ( ) = 2 + 2 ， ∈ (0, + ∞)有两个极值点，则实数 的取值范围( )
A. (0,1) B. ( ∞,1] C. [ 1, + ∞) D. ( ∞,0]
8.已知函数 ( ) = + 2 ，对任意的 1， 2 ∈ [0,1]，不等式| ( 1) ( 2)| ≤ 2 恒成立，则实
数 的取值范围是( )
A. [ 2, + ∞) B. [ , + ∞) C. [2, ] D. [ , 2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.在(2 )8 的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项是 1120 B.第四项和第六项的系数相等
C.各项的二项式系数之和为 256 D.各项的系数之和为 256
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、
司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是( )
A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54
B.若每项工作至少有 1 人参加，则不同的方法数为 4 15 4
C.每项工作至少有 1 人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则
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不同安排方案的种数是 1 2 3 2 33 4 3 + 3 3
D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排 1 人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为( 3 15 2 +
2 2 35 3) 3
11 .对于函数 ( ) = 2，下列说法正确的是( )
A. ( )在 = 1处取得极大值2
B. ( )有两个不同的零点
C. ( 2) < ( ) < ( 3)
D.若 ( ) < 1 2在(0, + ∞)

上恒成立，则 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.计算 57 + 3 35 = ______．
13.甲、乙、丙、丁 4 名老师分到 3 所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师
去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有______种.
2 , > 1
14.已知函数 ( ) = + 2 ，若函数 ( ) = ( ) 有三个不同的零点，则实数 的取值范围
, ≤ 1
是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ，其中 为非零常数．
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间；
(2)若函数 ( )在 = 1 处的切线斜率为 1，求 ( )的极值．
16.(本小题 15 分)
已知( + 1 ) 2 2 , ( ≥ 4, ∈
)的二项式系数之和为 4096．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．
17.(本小题 15 分)
现有编号为 ， ， 的 3 个不同的红球和编号为 ， 的 2 个不同的白球．
(1)若将这些球排成一排，且要求 ， 两个球相邻，则有多少种不同的排法？
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(2)若将这些球排成一排，且要求 球排在中间， ， 两个球不相邻，则有多少种不同的排法？
(3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？
18.(本小题 17 分)
某学校有 ， 两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择
1
一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去 餐厅的条件下，后一天继续选择 餐厅的概率为3；而在前一天选择去
3餐厅的条件下，后一天继续选择去 餐厅的概率为5，如此往复．
(1)求该同学第一天和第二天都选择去 餐厅用晚餐的概率；
(2)求该同学第二天选择去 餐厅用晚餐的概率；
(3)记该同学第 天选择去 餐厅用晚餐的概率为 ，求 的通项公式．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ，设 ( )在点(1,0)处的切线为 ．
(Ⅰ)求直线 的方程；
(Ⅱ)求证：除切点(1,0)之外，函数 ( )的图象在直线的下方；
(Ⅲ)若存在 ∈ (1, + ∞)，使得不等式 ( ) > ( 1)成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.201
13.18
14.(0, 2 )
15. (1) 1 1 解： 当 = 1 时， ( ) = ， ′( ) = 1 = ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0；当 > 1 时， ′( ) < 0；
∴ ( )在(0,1)递增，在(1, + ∞)递减；
(2) ( ) = 1 = 1 (1) = 1 = 2 ( ) = 1 2 ′ ， ′ ，得 ， ′ ，
当 0 < < 1 12时， ′( ) > 0；当 > 2时， ′( ) < 0；
∴ ( ) 1 1 1在(0, 2 )递增，在( 2 , + ∞)递减； ( )的极大值为 ( 2 ) = 2 1， ( )无极小值．
16.解：(1)因为( + 1 2 2 ) , ( ≥ 4, ∈ )的二项式系数之和为 4096．
所以2 = 4096 = 212，解得 = 12，
1
所以二项式展开式的通项为 +1 = 12 12 ( 12 3 2 2 ) = 2 12 ( = 0,1,2,3,4, . . . . , 12)，
令 12 3 = 0，解得 = 4，所以展开式的常数项为 5 = 2 4 4 0 =
495
12 16．
(2)设展开式中第 + 1 项的系数最大，
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2 ≥ 2 1 +1
则 12 12
10 13
2 ≥ 2 +1
，解得 ≤ ≤
1 3 3
，
12 12
因为 ∈ 495，所以 = 4，所以系数最大的项为 = 2 4 4 05 12 = 16．
17.已知有编号为 ， ， 的 3 个不同的红球和编号为 ， 的 2 个不同的白球，
(1)将 ， 两个球捆绑在一起和其他球进行全排列，有 2 42 4 = 48 种不同的排法．
(2)先把 球排在中间位置，再从 球的两侧各选一个位置排 ， 两个球，其余球任意排列，所以有 14 1 22 2 =
16 种不同的排法．
(3)先把 5 个小球分成 3 组，再放入 3 个盒子中．
2 2 1
若按 2，2，1 分配，则有 5 3 12
3
3 = 90 种不同的放法； 2
3 1 1
若按 3，1，1

分配，则有 5 2 12 33 = 60 种不同的放法； 2
所以共有 60 + 90 = 150 种不同的放法．
18.解：已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去 餐厅的条件下，
1
后一天继续选择 餐厅的概率为3；而在前一天选择去 餐厅的条件下，
3
后一天继续选择去 餐厅的概率为5，

(1) 1

记事件 ：该同学第 ( = 1,2)天去 餐厅，则 ( 1) = ( 1) = 2， ( 2| 1) =
1 3
3， ( 2| 1) = 5，
1
由概率乘法公式可得 ( 1 2) = ( 1) ( 2| 1) = 2 ×
1 = 13 6．

(2)由对立事件的概率公式可得 ( 2| 1) = 1 ( 2| 1) = 1
3 2
5 = 5，

由全概率公式可得 ( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| ) =
1
1 2 ×
1 + 1 2 113 2 × 5 = 30．
(3)记事件 ：该同学第 ( ∈ )天去 餐厅，则 = ( )，
1
由题意可知， ( | 1) = 3， ( | 1) = 1 ( | 1) = 1
3 2
5 = 5 ( ≥ 2, ∈ )，

由全概率公式可得 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 1) ( | 1)( ≥ 2, ∈ )，
1 2 1 2 3
即 = 3 1 + 5 (1 1) = 15 1 + 5，则 8 =
1 3
15 ( 1 8 )，
{ 3所以，数列 8 }是以 1
3 1 1
8 = 8为首项，公比为 15的等比数列，
3所以， 8 =
1 ( 1 ) 1 = 3，故 + 1 ( 1 ) 18 15 8 8 15 ．
1
19. 1 1 解：(Ⅰ) ′( ) = 2 = 2 ，
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由导数的几何意义 切 = ′(1) = 1，
所以直线 的方程为 = 1．
(Ⅱ) 证明：设函数 ( ) = ( ) ( 1) = + 1，
( ) = 1
2
′ 2 1 =
1
2 ，
函数定义域为(0, + ∞)，
令 ( ) = 1 2， > 0，
′( ) = 1 2 < 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 0，
所以在(0,1)上， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增，
在(1, + ∞)上， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) = (1) = 0，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，
所以 ( ) ( 1) ≤ 0，
若除切点(1,0)之外， ( ) ( 1) < 0，
所以除切点(1,0)之外，函数 ( )的图象在直线的下方．
(Ⅲ)若存在 ∈ (1, + ∞)，使得不等式 ( ) > ( 1)成立，
则若存在 ∈ (1, + ∞) ( )，使得不等式 1 > 成立，
即若存在 ∈ (1, + ∞) ，使得不等式 < ( 1)成立，
令 ( ) = ( 1)， > 1，
1
( 1) (2 1) ′( ) = 2( 1)2
= 1 (2 1) 2( 1)2 ，
令 ( ) = 1 (2 1) ， > 1
′( ) = 1 2 (2 1) 1 2 2 +1 2 +1 = = ，
令 ( ) = 2 + 1， > 1
′( ) = 1 2 2 = 3 2 < 0，
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所以在(1, + ∞)上， ( )单调递减，
又 (1) = 0，
所以在(1, + ∞)上， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，即 ′( ) ≤ 0， ( )单调递减，
→1 →1 1
又 ( 1) = 2 1 = 1，
所以 < 1，
所以 的取值范围为( ∞,1)．
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