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2024-2025学年吉林省松原市宁江五中九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.二次函数的顶点坐标是（　　）
A. （2，3） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
3.如图是正方体的表面展开图，每个面都标注了汉字，若“长”字在前面，则后面是（　　）
A. 我
B. 在
C. 等
D. 你
4.台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源.某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打几折销售.（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.如图，菱形OABC的顶点A、B、C都在⊙O上，点D为⊙O上一点，且点D在上，则∠ADB的大小为（　　）
A. 25°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
6.如图，在△ABC中，中线CD、BE交于点F，连接DE，则下列结论错误的是（　　）
A. DE∥BC
B. BC=2DE
C. △ADE∽△ABC
D. △ADE的面积与四边形BCED的面积比为1：4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.已知α为锐角，且sinα=，则α=______度．
8.若将方程x2+4x=m化为（x+2）2=5，则m= ______.
9.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（2，0），以点B为中心，把线段BA顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为______.
10.如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m,点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为______m2.
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上移动，与x轴交于C、D两点，若A（-2，-3）、B（4，-3），当四边形ABDC是矩形时，此时抛物线的解析式是______.
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题6分)
计算：sin60° tan45°+3cos60° tan30°.
13.(本小题6分)
某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班.
（1）“学生甲分到A班”的概率是______；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率.
14.(本小题6分)
阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下：
解：x2+6x-4=0
x+6x=4……①
x2+6x+9=4……②
（x+3）2=4……③
x1=1，x2=-5……④
（1）上述解答过程中，从第______步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程.
15.(本小题7分)
如图，在7×7的正方形网格中，A、B、C均为小正方形的顶点，请用无刻度的直尺按下列要求画图.
（1）如图①，在BC上画一点D，使；
（2）如图②，过点C画AB的平行线CE；
（3）如图③，画线段CG，使CG=2BF.
16.(本小题7分)
小华和小阳决定利用所学的知识测量本校综合楼上安装的电信信号塔的高度，在操场上选取一点A，测得信号塔顶点B的仰角为60°，测得这栋楼的顶部C的仰角为45°.又知B、F、E三点在一条直线上，水平距离为AD=30m,DE=4m,A、D、E三点在一条直线上且BE⊥AE，CD⊥AE，求信号塔本身的高BF.（结果保留整数）
17.(本小题7分)
如图，直线与双曲线的一个分支交于点A（m,3），与x轴交于点B，与y轴交于点C.
（1）求双曲线的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△AMB=9，求点M的坐标.
18.(本小题8分)
某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如表所示.
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
记两列车离A站的路程为S（千米）从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t=75），S与t的函数关系如图所示.
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了m分钟，m= ______，A站到B站距离n= ______千米；
（2）在G1002次列车行驶过程中（25≤t≤150），求S与t的函数关系式；
（3）在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若两车间距离为60千米，直接写出t的值.
19.(本小题8分)
【探究】如图①，在矩形ABCD中，点E在边DC上，连结AE，过点D作DF⊥AE于点G，交边BC于点F.若AB=6，BC=8，求的值.
【应用】（1）如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，点F为边BC的中点，连结AF，过点B作BD⊥AF于点E，交边AC于点D.若，的值为______.
（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC的中点，连结BD，过点A作AE⊥BD于点E，交边BC于点F.若，的值为______.
20.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,AD=4cm.动点P，Q从A同时出发，且速度均为2cm/s,点P，Q分别沿折线AB-BC，AD-DC向终点C运动.设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜3），△APQ的面积为y（cm2）.
（1）当点P与点B重合时，x的值为______.
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度.
21.(本小题10分)
[问题背景]王同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补.
如图①，点A、B、C、D均为⊙O上的点，∠ABC=85°，则有∠ADC= ______°.
[问题探究]爱思考的王同学发现：如图②，点A，B，C，D均为⊙O上的点，若AB=BC，点D为弧AC上任意一点（点D不与点A、C重合），若点D在运动的过程中始终保持BD=AD+DC，则∠ABC的度数恒为60°.
下面是王同学的证明过程：
证明：延长DC至点E，使CE=AD，连接BE.
缺失（1）
在△DAB与△ECB中，
∴△DAB≌△ECB（SAS）.
∴BE=BD，
∵CE=AD，ED=CD+CE，
又BD=AD+DC，
∴ED=BD，
∴ED=BD=BE，
∴△EDB为等边三角形.
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程.
[结论应用]如图③，点A，B，C，D均为⊙O上的点，若AB=BC，点D为弧AC上任意一点（点D不与点A、C重合），且BD=AD+DC，⊙O的半径为2，当点D在运动的过程中，四边形ABCD的周长的最大值为______.
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线y=x2-2x上，且点N关于点M的对称点N恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m.
（1）当m=-1时，求点N的纵坐标；
（2）若点N的纵坐标为2，求m的值；
（3）当N在抛物线对称轴左侧，点N不在y轴上时，过点N作NH⊥y轴于点H.
①抛物线在△NN′H内部（包括边界）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值；
②直线MN交x轴于A，点B是点A关于y轴的对称点，若△MNH的周长是△ABN′周长的3倍，直接写出m的值.
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