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2024-2025学年吉林省松原市前郭三中八年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（　　）
A. 5 B. 3 C. 4 D. 7
3.估计的值在（　　）
A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 5到6之间
4.实数m,n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A. n B. -n C. 2m-n D. -2m+n
5.下面各组数中，是勾股数的是（　　）
A. ，2，7 B. 0.2，0.6，0.8 C. 3，4，5 D. 5，8，10
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 6
B.
C. 4π-6
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.若二次根式，则a=______.
8.已知xy=12，x+y=-8，则的值为______.
9.规定a b=+，a*b=ab-b2，则=______.
10.Rt△ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是______．
11.若我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ______.
三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题6分)
计算：|-2|+（-1）2018-+.
13.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中，.
14.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC：BC=3：4，AB=10，求AC和BC的长.
15.(本小题7分)
在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形（如图），求剩余部分（阴影）的面积.
16.(本小题7分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
17.(本小题7分)
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（AB=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN），求水的深度PN.
18.(本小题8分)
如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为1米.
（1）求旗杆在距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中发现在折断点C的下方1.25米的点P处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
19.(本小题8分)
座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2π，其中T表示周期（单位：s），l表示摆针的摆长（单位：m），g≈9.8m/s.若一台座钟的摆针的摆长为0.49m.
（1）求该座钟摆针摆动的周期；（结果保留根号和π）
（2）若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，在1min内，该座钟至少发出多少次滴答声？（参考数据：.）
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm,AB=10cm,若点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿折线CB-BA-AC方向运动一周，当点P到达终点C时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）.
（1）若点P在边BC上且满足PA=PB，则此时t= ______；
（2）若点P恰好在∠ABC的平分线上，求此时t的值；
（3）在点P运动的过程中，当t为何值时，△ACP是等腰三角形，直接写出t的值.
21.(本小题10分)
材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；
.类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
.根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）比较大小： ______（填“＞”，“＜”或“=”）；
（2）计算：；
（3）若，求5a2-10a+15的值.
22.(本小题12分)
【探究发现】：我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结论：a2+b2=c2.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.
求证a2+b2=c2.
证明：由图可知，S正方形ABED=4S△ABC+S正方形CFGH
∵S正方形ABED=c2，S△ABC= ______，正方形CFGH的边长为______；
∴.
即a2+b2=c2.
【深入思考】：如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以AB为直角边在AB的右侧作等腰Rt△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E.
（2）求证：DE=a,BE=b；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2；
【实际应用】：
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积.
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