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苏科版·九年级上册
1.3 一元二次方程的
根与系数的关系
第一章
一元二次方程
章节导读
学 习 目 标
1
2
探索一元二次方程的根与系数的关系及其逆用，并证明
掌握一元二次方程的根与系数的关系，并解决求值、求参等问题
知识回顾
1. 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式：
2. 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况：
x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )
①当Δ > 0时，有两个不相等的实数根；
②当Δ = 0时，有两个相等的实数根；
③当Δ < 0时，方程无实数根。
新知探究
思
考
1. 完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？
x1 x2 x1 + x2 x1·x2
x2 -3x + 2 = 0 1 2
x2 + 3x + 2 = 0 -1 -2
x2 - 5x + 6 = 0 2 3
x2 + 5x + 6 = 0 -2 -3
x2 - 3x = 0 0 3
3 2
-3 2
5 6
-5 6
3 0
两根的和与一次项系数互为相反数
两根的积与常数项相等
新知探究
思
考
1. 完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？
【猜想】
若x2 + px + q = 0的两个根是x1，x2，则x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。
新知探究
思
考
2. 方程2x2 - 5x - 3 = 0的两根是x1 = 3，x2 = ，这两根的和、两根的积与系数有什么关系？
x1 + x2 = ≠一次项系数-5
x1·x2 = ≠常数项-3
二次项系数是2，一次项系数是-5，常数项是-3，
( -5 ) ÷ 2 =
( -3 ) ÷ 2 =
解：两根的和与互为相反数，两根的积与相等。
新知探究
思
考
3. 求出方程3x2 - 7x + 4 = 0的解，再验证这个方程的根与系数是否有 2. 中发现的关系。
解：( 3x - 4 ) ( x - 1 )=0，
3x - 4 = 0或x - 1 = 0，
∴x1 = ，x2 = 1；
x1+x2 x1·x2
∴这个方程的根与系数有 2. 中发现的关系。
新知探究
【猜想】
若ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是x1，x2，则x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
证
明
【证明】
在ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )中，若Δ = b2 - 4ac ≥ 0，
则它的两个根是x1 = ，x2 =，
∴x1 +x2 = + = = ，
x1·x2 = · = = = 。
新知探究
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是x1，x2，x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
特别地，方程x2 + px + q = 0的两个根是x1，x2，x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。
注意：x1 + x2 = 中，的负号不要掉！
使用前提：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的有两个实数根，即Δ = b2 - 4ac ≥ 0。
知识要点
典例分析
典例1 完成下列表格。
方法技巧
解题关键：直接用韦达定理
x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
Δ = b2 - 4ac x1 + x2 x1·x2
x2 - 2x - 3 = 0
2x2 - x - 10 = 0
4x2 + 17x + 4 = 0
4x2 - 4x + 1 = 0
x2 + 4x + 5 = 0
16 > 0 2 -3
81 > 0 -5
225 > 0 1
0 1
-4 < 0 × ×
再次强调：
韦达定理的使用前提：Δ = b2 - 4ac ≥ 0
典例分析
典例2 完成下列表格。
x1 + x2 x1·x2 x12 + x22 |x1 - x2|
x2 - 2x - 3 = 0 2 -3
2x2 - x - 10 = 0 -5
4x2 + 17x + 4 = 0 1
4x2 - 4x + 1 = 0 1
10
4
0
方法技巧
解题关键：
掌握常见的变形公式
x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1·x2，
|x1 - x2| = ，
……
新知探究
与x1 + x2，x1·x2有关的常见变形公式：
知识要点
典例分析
典例3 已知ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两根之和5，
两根之积是6，则原方程可能为__________________。
解：∵ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两根之和5，
两根之积是6，
∴ = 5， = 6，
∴b = -5a，c = 6a，
∴原方程为ax2 - 5ax + 6a = 0 ( a ≠ 0 )，
即a (x2 - 5x + 6 ) = 0 ( a ≠ 0 )，
若取a = 1，则原方程为x2 - 5x + 6 = 0。
x2 - 5x + 6 = 0
方法技巧
解题关键：
若已知两根的和、两根的积，
则可先用韦达定理，将条件转化为系数之间的关系式，再进一步求解。
新知探究
韦达定理的逆用：
若一元二次方程的两个根x1，x2满足x1 + x2 = m，x1·x2 = n，
则这个方程可以记为a ( x2 - mx + n ) = 0 ( a ≠ 0 )。
知识要点
题型探究
【例1】关于x的一元二次方程5x2 - 4x + k = 0的一个根为1，则它的另一个根是________。
已知方程的一个根，求另一个根
题型一
此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理
解：设方程的另一个根为t，
由题意可得：1 + t = ，解得：t = 。
题型探究
求关于根的代数式的值—对称型
题型二
【例2】( 1 ) 已知a、b是一元二次方程2x2 + 3x - 4 = 0的两个根，那么ab2 + a2b的值是________；
解：( 1 ) ∵a、b是2x2 + 3x - 4 = 0的两个根，
∴a + b = ，ab = -2，
∴ab2 + a2b = ab ( a + b ) = -2 × ( ) = 3；
此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理
3
题型探究
求关于根的代数式的值—对称型
题型二
【例2】( 2 ) 已知实数a、b分别满足a2 - 6a + 4 = 0，b2 - 6b + 4 = 0，且a ≠ b，
则a2 + b2的值为（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
( 2 ) ∵a2 - 6a + 4 = 0，b2 - 6b + 4 = 0，且a ≠ b，
∴a、b可看作方程x2 - 6x + 4 = 0的两根，
∴a + b = 6，ab = 4，
∴a2 + b2 = ( a + b )2 - 2ab = 62 - 2 × 4 = 28。
C
题型探究
求关于根的代数式的值—非对称型
题型三
【例3】( 1 ) 已知方程x2 - 2x - 2 = 0的两根分别为x1，x2，则x12 - x22 + 4x2的值为________；
解：( 1 ) ∵x2 - 2x - 2 = 0的两根分别为x1，x2，
∴x1 + x2 = 2，x1·x2 = -2，
∴x12 - x22 + 4x2
= ( x1 + x2 ) ( x1 - x2 ) + 4x2
= 2 ( x1 - x2 ) + 4x2
= 2 ( x1 + x2 )
= 4；
4
此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理
解题方法与策略：
先通过韦达定理代值将非对称型的代数式转化为对称型
题型探究
求关于根的代数式的值—非对称型
题型三
【例3】( 2 ) 若α、β为x2 + 2x - 4 = 0的两根，则a2 + αβ + 2α的值为________。
( 2 ) ∵α、β为x2 + 2x - 4 = 0的两根，
∴α2 + 2α - 4 = 0，αβ = -4，
∴α2 = -2α + 4，
∴a2 + αβ + 2α
= -2α + 4 + αβ + 2α
= 4 + αβ
= 4 + ( -4 )
= 0。
0
解题方法与策略：
先通过原方程式降次将非对称型的代数式转化为对称型
等式左边是二次，右边是一次，从左到右，可以达到“降次”的目的
题型探究
已知方程的两根，求参数
题型四
【例4】若关于x的方程2x2 + mx + n = 0的根是x1 = -1，x2 = 3，则m + n = ________。
解：根据根与系数的关系得： = -1 + 3， = -1 × 3，
解得：m = -4，n = -6，
∴m + n = -4 + ( -6 ) = -10。
此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理
-10
题型探究
已知方程两根的关系式，求参数
题型五
【例5】若关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数，则k =（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．±1
判断下列做法是否正确：
解：∵关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数，
∴x1·x2 = k2 = 1，解得：k = 1或k = -1。
两个条件：
①两个实数根
②两根互为倒数
当k = 1时，方程为x2 + x + 1 = 0，
∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0，
∴方程无实数根，与题意不符。
题型探究
已知方程两根的关系式，求参数
题型五
【例5】若关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数，则k =（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．±1
正解：
∵关于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的两根互为倒数，
∴Δ = ( 2 - k )2 - 4k2 ≥ 0，x1·x2 = k2 = 1，
解得：-2 ≤ k ≤ ，k = 1或k = -1，
∴k = -1。
C
题型探究
解题策略 题型四： 已知方程的两根，求参数 在确保 a ≠ 0 的前提下 此题型默认b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韦达定理
题型五： 已知方程两根的关系式，求参数 必须列两个式子：
①两个实数根：Δ ≥ 0（或两个不相等的实数根：Δ>0）
②韦达定理表示的两根的关系式
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的两个根是x1，x2，x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
特别地，方程x2 + px + q = 0的两个根是x1，x2，x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。
注意：x1 + x2 = 中，的负号不要掉！
使用前提：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的有两个实数根，即Δ = b2 - 4ac ≥ 0。
课堂小结
感谢聆听!

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