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(共25张PPT)
第3章 二次根式
3.2 二次根式的乘法和除法（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握商的算术平方根的性质：。
01
理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。
02
掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。
03
02
新知导入
计算：（1）×；（2） 2×3.
解：（1）×= = = 2.
（2）.
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变.
=
03
新知探究
思考
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) =__________，=__________；
(2) =__________，=__________.
猜想： ()
03
新知探究
理由：一般地，如果，则 ，
因此， （）.
设，则
.
与互为倒数.
03
新知探究
商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
03
新知探究
化简下列二次根式： (1)； (2) .
例3
解：（1） ==.
（2）.
化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式.
注意
03
新知探究
思考
等式具有对称性，即若a=b,则b=a,根据等式的对称性填空：
(1)若= ，则________________;
(2)若，则________________.
=
03
新知探究
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把它们的被开方数相除，根指数不变.
03
新知探究
例4
解： （1）
（2）= .
计算：（1）；（2） .
二次根式的除法法则的推广：
03
新知探究
议一议
小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下：
（1） === 3；
（2） == 3.
你更喜欢哪种做法？
更喜欢小华的做法.因为小华的做法直接套用二次根式的除法法则,计算直接，不易出错.（答案不唯一）
03
新知探究
例5
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接
收到电视节目信号的区域就越广 .已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足 r=(其中R是地球半径). 现有两座高分别为 h1=600m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
03
新知探究
解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.
因为r=，600m=0.6km，450m=0.45km，
所以.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.计算÷的结果是（　　）
A．2　　　　B．　　　　C．3　　　　D．
2.如果，，那么下面各式不正确的是（　　）
A．　　　　B．　　　　
C．　　　　D．
D
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列各式化成最简二次根式正确的是（　　）
A．=　　　　B．　　　　
C．=　　　　 D．=
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.计算：÷＝　 　．
5.一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为　 　.
6.若<0，则化成最简二次根式为　 　.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.计算：（1）；（2）；（3）;（4）.
（1）解：原式=
（2）解：原式=2=
（3）解： 原式==
（4）解： 原式=
05
课堂小结
商的算术平方根：
二次根式的除法法则：
二次根式的除法法则的推广：
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.无理数的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2.下列各式的计算正确的是（　　）
A． B．
C．= D．
D
D
06
作业布置
3.在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　）
A．甲对
B．乙、丙对
C．甲、乙对
D．甲、乙、丙都对
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.设三角形一边长为a，这条边上的高为h，面积为S．如果,另有一个边长为的正方形面积也等于S，求a的长．
解：由另一个边长为的正方形面积也等于S，可得
，
所以a＝18÷=．
故a的长为 ．
07
板书设计
商的算术平方根：
二次根式的除法法则：
3.2 二次根式的乘法和除法（2）
习题讲解书写部分
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分课时教学设计
第二课时《3.2 二次根式的乘法和除法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《二次根式的除法》是湘教版八年级上册第3章《二次根式》的第二节第二课时的内容。本节内容是二次根式运算体系的核心内容，承接乘法运算，为后续学习分母有理化、解方程及几何应用奠定基础。教材通过问题引导学生发现与的关系，共同探究商的算术平方根和二次根式的除法法则，并设计例题逐步渗透运算规律，强化算术平方根与商的算术平方根性质的互逆关系。教材注重从特殊到一般的归纳方法，渗透转化、数形结合等数学思想，同时通过实际问题培养学生应用意识。
学习者分析 认知基础 学生已掌握二次根式的基本性质，熟悉二次根式的乘法运算，具备分式运算的基本能力。 学习困难 对分母有理化的必要性理解不足，容易混淆除法法则与乘法法则，且学生在有理化过程中符号处理易出错，对运算结果的化简不够彻底。 心理特点 学生对运算规则的记忆存在困难，且对抽象推导过程兴趣不足，更倾向于具体实例的学习。
教学目标 1.掌握商的算术平方根的性质：。 2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。 3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。 4.通过观察、计算、猜想、验证等活动，经历从特殊到一般的归纳过程，培养逻辑推理能力。 5.感受数学知识的内在联系，体会数学的严谨性与实用性。
教学重点 1.二次根式除法法则的推导与应用。 2.分母有理化的规范步骤。
教学难点 1.区分何时“直接除”与何时“先有理化”。 2.避免符号与约分错误。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 计算：（1）×； （2） 2×3. 解：（1）×= = = 2. （2）. 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变. =学生活动1： 认真计算，举手回答问题 回顾二次根式的乘法法则 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究一：二次根式的乘法法则 【思考】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？ (1) =__________，=__________； (2) =__________，=__________. 猜想： () 教师讲授： 理由：一般地，如果，则 ， 因此， （）. 设，则 . 【归纳】 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 例3化简下列二次根式： (1)； (2) . 解：（1） ==. （2）. 注意：化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式. 【思考】等式具有对称性，即若a=b,则b=a,根据等式的对称性填空： (1)若= ，则________________; (2)若，则________________. 【归纳】 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把它们的被开方数相除，根指数不变. 例4计算：（1）； （2） . 解：（1） （2）= . 【归纳】二次根式的除法法则的推广： 【议一议】小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下： （1） === 3； （2） == 3. 你更喜欢哪种做法？学生活动2： 认真观察，寻找共同特征 提出猜想，合作交流 认真听讲，推理证明商的算术平方根 认真听讲，了解商的算术平方根 认真思考，运用已学知识完成习题 认真听讲 认真听讲，举手回答问题 认真听讲，了解二次根式的除法法则 认真思考，运用已学知识完成习题 认真听讲 认真听讲 合作交流 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲教师活动3： 例5电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广 .已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足 r=(其中R是地球半径). 现有两座高分别为 h1=600m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？ 解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2. 因为r=，600m=0.6km，450m=0.45km， 所以.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 商的算术平方根： 二次根式的除法法则： 二次根式的除法法则的推广： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算÷的结果是（　　） A．2　　　　B．　　　　C．3　　　　D． 2.如果，，那么下面各式不正确的是（　　） A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　D． 3.下列各式化成最简二次根式正确的是（　　） A．　　　　B． C．　　　 　D． 选做题： 4.计算：＝　 　． 5.一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为　 　. 6.若<0，则化成最简二次根式为　 　. 【综合拓展类作业】 7.计算：（1）； （2）； （3）; （4）.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.无理数的倒数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2.下列各式的计算正确的是（　　） A．　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　D． 3.在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【综合拓展类作业】 4.设三角形一边长为a，这条边上的高为h，面积为S．如果 ，另有一个边长为的正方形面积也等于S，求a的长．
教学反思 本节课通过实例导入和小组合作探究，有效突破了重难点。学生在自主计算实例后，能主动归纳出商的算术平方根的性质，并通过变式训练逐步掌握运算技巧。课堂检测显示，80%的学生能正确应用法则化简二次根式，但部分学生在综合问题中仍忽略被开方数的非负性，或化简不彻底。后续教学需加强反例辨析（如讨论无意义运算的后果）和规范步骤训练（如“分解因式—开方—移出根号外”三步法），同时结合几何问题（如计算直角三角形斜边长度）提升应用能力。
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第3章 二次根式
3.2 二次根式的乘法和除法（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握商的算术平方根的性质：。
2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。
3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。
4.通过观察、计算、猜想、验证等活动，经历从特殊到一般的归纳过程，培养逻辑推理能力。
5.感受数学知识的内在联系，体会数学的严谨性与实用性。
学习重点：
1.二次根式除法法则的推导与应用。
2.分母有理化的规范步骤。
学习难点：
1.区分何时“直接除”与何时“先有理化”。
2.避免符号与约分错误。
学习过程
一、复习回顾
计算：（1）×； （2） 2×3.
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数______，根指数不变.
=
二、新知探究
探究一：商的算术平方根
教材第71页
【思考】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) =__________，=__________；
(2) =__________，=__________.
【归纳】
商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
例3化简下列二次根式： (1)； (2) .
注意：化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式.
探究二：二次根式的除法法则
教材第72页
【思考】等式具有对称性，即若a=b,则b=a,根据等式的对称性填空：
(1)若= ，则________________;
(2)若，则________________.
【归纳】
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把它们的被开方数相除，根指数不变.
例4计算：（1）； （2） .
【归纳】二次根式的除法法则的推广：
【议一议】小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下：
（1） === 3；
（2） == 3.
你更喜欢哪种做法？
三、例题精讲
例5电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广 .已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足 r=(其中R是地球半径). 现有两座高分别为 h1=600m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.计算÷的结果是（　　）
A．2 B． C．3 D．
2.如果，，那么下面各式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3.下列各式化成最简二次根式正确的是（　　）
A． B． C． D．
选做题
4.计算：＝　 　．
5.一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为　 　.
6.若<0，则化成最简二次根式为　 　.
【综合拓展类作业】
7.计算：（1）； （2）； （3）; （4）.
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.无理数的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2.下列各式的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3.在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　）
A．甲对 B．乙、丙对
C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
4.设三角形一边长为a，这条边上的高为h，面积为S．如果 ，另有一个边长为的正方形面积也等于S，求a的长．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解： ÷ =.
故答案为：B
2.【答案】D
【解析】解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0.
∴A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、因为二次根式的被开方数不能小于0，所以无意义，符合题意；
故答案为：D.
3.【答案】C
【解析】A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
4.【答案】.
【解析】原式 ；
故答案是： ；
5.【答案】．
【解析】解：∵长方形的面积=长×宽，
∴和它相邻的另一边长为：=.
6.【答案】．
【解析】解：∵y＜0，
∴；
故答案为：.
7.【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解： 原式=
（4）解： 原式=
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：无理数 的倒数是 ；
故答案为：D．
2.【答案】D
【解析】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
3.【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
，
，
∴甲、乙，丙都对，
故答案为：D.
4．【答案】解：由另一个边长为的正方形面积也等于S，可得，
所以a＝18÷=．
故a的长为 ．
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第3章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。本章内容在学生学习了有理数的运算、平方根、立方根、实数以及整式运算等知识的基础上，进一步深化对数的认识，并引入代数式运算的新内容。教材通过实际问题引入二次根式的概念，使学生感受到数学与生活的紧密联系，再带领学生探究二次根式的性质与四则运算法则。本章内容不仅为后续学习一元二次方程、二次函数等知识奠定基础，还在培养学生逻辑推理能力、运算能力和数学建模能力方面具有重要作用。
学情分析 知识基础 学生已经掌握了有理数的四则运算、平方根与立方根的概念、实数的分类与运算、整式的加减乘除等基础知识，为学习二次根式提供了必要的认知基础。 能力水平 学生具备了一定的观察、分析、归纳和推理能力，能够通过具体问题抽象出数学模型，并运用所学知识解决实际问题。然而，对于二次根式的运算规则和性质，学生可能初次接触，需要逐步引导和强化训练。 学习特点 学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对新鲜事物充满好奇，但注意力容易分散。因此，在教学过程中应注重情境创设，激发学生的学习兴趣，同时采用多样化的教学方法和手段，保持学生的注意力集中。 学习困难 学生在理解二次根式的双重非负性、掌握二次根式的运算规则以及进行复杂运算时可能会遇到困难。此外，将二次根式与实际问题相结合，建立数学模型并求解，也是学生需要克服的挑战。
单元目标 （一）教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。 3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。 4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。 5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。 6.经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学思考过程，培养学生的归纳概括能力和类比迁移能力。 7.在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，提高数学建模能力。 8.激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 9.引导学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养认真细致、一丝不苟的学习态度。 （二）教学重点、难点 重点 1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。 3.二次根式在几何情境中的表达与化简。 难点 1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。 2.乘除运算中的“目的性有理化”——为什么有理化、怎样选择有理化因式。 3.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。 4.从实际问题抽象出二次根式模型并解释结果的意义。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1二次根式的概念及性质23.2二次根式的乘法和除法23.3二次根式的加法和减法2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1 二次根式的概念及性质（1）1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。 2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。 任务二：探究新知，理解二次根式的概念。 任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。 任务四：独立思考，探究二次根式的性质。 任务五：巩固练习，课堂小结。3.1 二次根式的概念及性质（2）1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。 2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。 能运用性质化简二次根式或判断其正误。任务一：填空，进行猜想。 任务二：探究新知，利用二次根式的性质进行证明。 任务三：例题精讲，化简二次根式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 二次根式的乘法和除法（1）1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.2 二次根式的乘法和除法（2）1.掌握商的算术平方根的性质：。 2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。 3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。 2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，探究二次根式除法法则. 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（1）1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。 2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。 3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。 任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。 任务三：例题精讲，进行加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（2）1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。 2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。 任务三：例题精讲，进行混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.能够系统、全面地理解二次根式的概念，深入掌握二次根式有意义的条件。 2.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算，理解性质的本质和适用范围。 3.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算，包括运算顺序的正确把握、符号的准确处理，并将运算结果熟练化为最简二次根式。1.能准确无误地确定各种形式下被开方数中字母的取值范围。 2.能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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