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第二章
实数
八年级数学北师版·上册
1 第1课时 无理数
新课引入
七年级的时候，我们学习了有理数，知道了整数和分数统称为有理数，考虑下面的问题：
(1)一个整数的平方一定是整数吗？
(2)一个分数的平方一定是分数吗？
是
是
新知探究
随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数，下面让我们一起来探究非有理数.
下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形，把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形.
1
1
1
1
新知探究
1
1
方 法 一
新知探究
方
法
二
思考:(1)设大正方形的边长为a,则a满足什么条件
a2=2
新知探究
a
a2=2
(2)a可能是整数吗？说说你的理由.
(3)a可能是分数吗？说说你的理由.
没有两个相等的整数的积等于2，也没有两个相等的分数的积等于2，因此a不可能是有理数.
如图所示，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
解：由勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方为5，所以正方形的面积是5.
1
2
新知探究
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
解：b2=5.
(3)b是有理数吗？
解：没有一个整数或分数的平方为5，也就是没有一个有理数的平方为5，所以b不是有理数.
新知探究
在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段.
长度不是有理数的线段有CD，GH，MN.
长度为有理数的线段有AB，EF.
新知探究
正方形网格中的线段既可以表示有理数，也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数，也可以表示有理数之外的数.
比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数，数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.
-3
-2
0
-1
3
2
1
C
O
B
A
P
新知探究
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢
(1)如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索.
1
1
面积为2
a
a
2
2
新知探究
(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？
边长a 面积S
11.41.411.4141.4142新知探究
a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.
如果写成小数形式，它是有限小数吗？
事实上，a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数.
(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到0.01呢？ (提示：精确到0.1，b≈2.2，精确到0.01，b≈2.24)
新知探究
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
3,
解：3=3.0,
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
新知探究
像0.585885888588885…，1.41421356…， 2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数称为无理数.
(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).
你能找到其他的无理数吗
新知探究
解：有理数有：3.14, - , ；
无理数有：0.1010001000001…(相邻两 个1之间0的个数逐次加2).
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14, － , ，0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
新知探究
巩固练习
1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3，则斜边的长(　　)
A.是有理数　　　　　 B.不是有理数
C.不确定 D.4
B
2.下列面积的正方形，边长不是有理数的是 (　　)
A. 16 B. 25
C. 2 D. 4
C
巩固练习
3.下列说法中正确的是 (　　)
A.无限小数都是无理数
B.有限小数是无理数
C.无理数都是无限小数
D.有理数是有限小数
C
巩固练习
4.以下各正方形的边长是无理数的是 (　　)
A.面积为25的正方形
B.面积为 的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
C
巩固练习
2.任何一个有理数都可以化成分数 的形式(q≠0，p，q为整数)，而无理数不能.
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
数
{
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
{
整数
分数
按小数的形式分类
课堂小结
1.下列各数： 1， (相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.
A
课堂小测
【解析】因为3.14是小数， 是分数， 是无限循环小
数，所以选项A,B,D都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数.
2.下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. D.
C
课堂小测
(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限小数. （ ）
3. 判断题
×
√
√
×
课堂小测
4.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形
B.面积为 的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
C
课堂小测

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